Назад

Математическая задача о треугольнике ABC и вписанной окружности

Задача 152997 • Сложность: 2 • 8-9 класс
Задача

В треугольникеABCизвестно, чтоAB= 20,AC= 24. Известно также, что вершинаC, центр вписанного в треугольникABCкруга и точка пересечения биссектрисы углаAсо сторонойBCлежат на окружности, центр которой лежит на сторонеAC. Найдите радиус описанной около треугольникаABCокружности.

Разделы:
Планиметрия
Источники:
Система задач по геометрии Р.К.Гордина (zadachi.mccme.ru) Интернет-ресурсы
Количество версий:
5
Решение

ПустьO- центр окружности, вписанной в треугольникABC,Q- центр окружности, проходящей через точкиC,OиM(пересечение биссектрисы углаAсо сторонойBC),CP- диаметр этой окружности. Обозначим$\angle$OCA=$\angle$OCB=$\alpha$. Тогда

$\displaystyle \angle$OMP = $\displaystyle \angle$OCP = $\displaystyle \alpha$,$\displaystyle \angle$AMC = $\displaystyle \angle$AMP + $\displaystyle \angle$PMC = $\displaystyle \alpha$ + 90o,
$\displaystyle \angle$MAC = 180o - $\displaystyle \angle$AMC - $\displaystyle \angle$MCA = 180o - ($\displaystyle \alpha$ + 90o) - 2$\displaystyle \alpha$ = 90o - 3$\displaystyle \alpha$,
$\displaystyle \angle$BAC = 2 . $\displaystyle \angle$MAC = 180o - 6$\displaystyle \alpha$,
$\displaystyle \angle$ABC = 180o - $\displaystyle \angle$ACB - $\displaystyle \angle$BAC = 180o - 2$\displaystyle \alpha$ - (180o - 6$\displaystyle \alpha$) = 4$\displaystyle \alpha$.
По теореме синусов в треугольникеABCимеем:
AB/sin 2$\displaystyle \alpha$ = AC/sin 4$\displaystyle \alpha$,или20/sin 2$\displaystyle \alpha$ = 24/(2 . sin 2$\displaystyle \alpha$ . cos 2$\displaystyle \alpha$).
Отсюда находим, что
cos 2$\displaystyle \alpha$ = 12/20 = 3/5, sin 2$\displaystyle \alpha$ = 4/5.
ЕслиR- радиус окружности, описанной около треугольникаABC, то
R = AB/(2 . sin 2$\displaystyle \alpha$) = 25/2.
Ответ

12,5.

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет