Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: диагонали четырёхуг
Задача
Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Найдите диагональ AC, если BD = 2, AB = 1,
$\angle$ABD : $\angle$DBC = 4 : 3.
Решение
Пусть$\angle$ABD= 4$\alpha$, тогда$\angle$DBC= 3$\alpha$. Из прямоугольного треугольникаABD(уголA— прямой, как вписанный, опирающийся на диаметрBD) находим, что
cos$\displaystyle \angle$ABD = $\displaystyle {\frac{AB}{BD}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$.
Поэтому
$\displaystyle \angle$ABD = 4$\displaystyle \alpha$ = 60o, $\displaystyle \alpha$ = 15o.
Тогда
$\displaystyle \angle$CBD = 3$\displaystyle \alpha$ = 45o, $\displaystyle \angle$ABC = 105o.
Пусть R — радиус окружности. Поскольку
2R = BD = 2, то
AC = 2R sin$\displaystyle \angle$ABC = 2 sin 105o = 2 sin(60o + 45o) =
= 2(sin 60ocos 45o + cos 60osin 45o) = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}}$.
Ответ
${\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет