Олимпиадная задача по планиметрии: вписанная окружность в сектор 120°
Задача
В круговой сектор с центральным углом 120o вписана окружность. Найдите её радиус, если радиус данной окружности равен R.
Решение
Пусть x — радиус искомой окружности, O1 — её центр, OA и OB — радиусы данного сектора, M — точка касания окружностей, K — точка касания искомой окружности с радиусом OB. Тогда
OO1 = R - x, KO1 = x, $\displaystyle \angle$KOO1 = 60o,
KO1 = OO1sin$\displaystyle \angle$KOO1, или x = $\displaystyle {\frac{(R - x)\sqrt{3}}{2}}$.
Отсюда находим, что
x = $\displaystyle {\frac{R\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}}$ = R$\displaystyle \sqrt{3}$(2 - $\displaystyle \sqrt{3}$).
Ответ
R$\sqrt{3}$(2 - $\sqrt{3}$).
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет