Назад

Вписанный и описанный четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями

Задача 152778 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Задача

В четырёхугольник ABCD можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен R и AB = 2BC.

Разделы:
Планиметрия
Источники:
Система задач по геометрии Р.К.Гордина (zadachi.mccme.ru) Интернет-ресурсы
Количество версий:
5
Решение
Первый способ.
Обозначим BC = x. Тогда AB = 2x. Пусть O — центр описанной окружности, K и M — середины AD и DC. Тогда
OK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC = $\displaystyle {\frac{x}{2}}$, OM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB = x,
AD = 2DK = $\displaystyle \sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}}$, CD = 2MD = 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-x^{2}}$.
ПосколькуAB+CD=BC+AD, то
2x + 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-x^{2}}$ = x + 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}}$.
Отсюда находим, что
x = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$, AB = $\displaystyle {\frac{4R}{\sqrt{5}}}$, AD = $\displaystyle {\frac{4R}{\sqrt{5}}}$, BC = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$, CD = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$.
ПоэтомуAC— биссектриса углаBCDи$\angle$ABC= 90o. Следовательно, искомая площадь равна удвоенной площади треугольникаABC, т. е.${\frac{8}{5}}$R2.
Второй способ.
Обозначим BC = x, AB = 2x, AD = y, CD = z. Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, а т.к. диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то равны и суммы квадратов его противоположных сторон. Тогда
$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x+y =2x+z\\ x^{2}+y^{2} = 4x^{2}+z^{2}\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x+y =2x+z\\ x^{2}+y^{2} = 4x^{2}+z^{2}\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=y^{2}-z^{2}\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=y^{2}-z^{2}\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=(y-z)(y+z)\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=(y-z)(y+z)\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  
  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=x(y+z)\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=x(y+z)\\ \end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x=y+z\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x=y+z\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} y=2x\\ z=x.\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} y=2x\\ z=x.\\ \end{array}$
ПоэтомуBC=DCиBA=DA, т.е. точкиAиCравноудалены от концов отрезкаBD. Значит, прямаяAC— серединный перпендикуляр к хордеBDописанной окружности четырёхугольникаABCD. Следовательно,AC— диаметр этой окружности,$\angle$ABC=$\angle$ADC= 90o. По теореме Пифагора
BC2 + AB2 = AC2, или x2 + 4x2 = 4R2,
откудаx2=${\frac{4}{5}}$R2. Следовательно,
SABCD = 2S$\scriptstyle \Delta$ABC = 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC . AB = 2x2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{5}}$R2.
Первый способ.
Обозначим BC = x. Тогда AB = 2x. Пусть O — центр описанной окружности, K и M — середины AD и DC. Тогда
OK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC = $\displaystyle {\frac{x}{2}}$, OM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB = x,
AD = 2DK = $\displaystyle \sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}}$, CD = 2MD = 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-x^{2}}$.
ПосколькуAB+CD=BC+AD, то
2x + 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-x^{2}}$ = x + 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}}$.
Отсюда находим, что
x = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$, AB = $\displaystyle {\frac{4R}{\sqrt{5}}}$, AD = $\displaystyle {\frac{4R}{\sqrt{5}}}$, BC = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$, CD = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$.
ПоэтомуAC— биссектриса углаBCDи$\angle$ABC= 90o. Следовательно, искомая площадь равна удвоенной площади треугольникаABC, т. е.${\frac{8}{5}}$R2.
Второй способ.
Обозначим BC = x, AB = 2x, AD = y, CD = z. Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, а т.к. диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то равны и суммы квадратов его противоположных сторон. Тогда
$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x+y =2x+z\\ x^{2}+y^{2} = 4x^{2}+z^{2}\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x+y =2x+z\\ x^{2}+y^{2} = 4x^{2}+z^{2}\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=y^{2}-z^{2}\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=y^{2}-z^{2}\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=(y-z)(y+z)\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=(y-z)(y+z)\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  
  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=x(y+z)\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=x(y+z)\\ \end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x=y+z\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x=y+z\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} y=2x\\ z=x.\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} y=2x\\ z=x.\\ \end{array}$
ПоэтомуBC=DCиBA=DA, т.е. точкиAиCравноудалены от концов отрезкаBD. Значит, прямаяAC— серединный перпендикуляр к хордеBDописанной окружности четырёхугольникаABCD. Следовательно,AC— диаметр этой окружности,$\angle$ABC=$\angle$ADC= 90o. По теореме Пифагора
BC2 + AB2 = AC2, или x2 + 4x2 = 4R2,
откудаx2=${\frac{4}{5}}$R2. Следовательно,
SABCD = 2S$\scriptstyle \Delta$ABC = 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC . AB = 2x2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{5}}$R2.
Первый способ.
Обозначим BC = x. Тогда AB = 2x. Пусть O — центр описанной окружности, K и M — середины AD и DC. Тогда
OK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC = $\displaystyle {\frac{x}{2}}$, OM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB = x,
AD = 2DK = $\displaystyle \sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}}$, CD = 2MD = 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-x^{2}}$.
ПосколькуAB+CD=BC+AD, то
2x + 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-x^{2}}$ = x + 2$\displaystyle \sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}}$.
Отсюда находим, что
x = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$, AB = $\displaystyle {\frac{4R}{\sqrt{5}}}$, AD = $\displaystyle {\frac{4R}{\sqrt{5}}}$, BC = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$, CD = $\displaystyle {\frac{2R}{\sqrt{5}}}$.
ПоэтомуAC— биссектриса углаBCDи$\angle$ABC= 90o. Следовательно, искомая площадь равна удвоенной площади треугольникаABC, т. е.${\frac{8}{5}}$R2.
Второй способ.
Обозначим BC = x, AB = 2x, AD = y, CD = z. Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, а т.к. диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то равны и суммы квадратов его противоположных сторон. Тогда
$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x+y =2x+z\\ x^{2}+y^{2} = 4x^{2}+z^{2}\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x+y =2x+z\\ x^{2}+y^{2} = 4x^{2}+z^{2}\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=y^{2}-z^{2}\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=y^{2}-z^{2}\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=(y-z)(y+z)\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=(y-z)(y+z)\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  
  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=x(y+z)\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x^{2}=x(y+z)\\ \end{array}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x=y+z\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x =y-z\\ 3x=y+z\\ \end{array}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} y=2x\\ z=x.\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} y=2x\\ z=x.\\ \end{array}$
ПоэтомуBC=DCиBA=DA, т.е. точкиAиCравноудалены от концов отрезкаBD. Значит, прямаяAC— серединный перпендикуляр к хордеBDописанной окружности четырёхугольникаABCD. Следовательно,AC— диаметр этой окружности,$\angle$ABC=$\angle$ADC= 90o. По теореме Пифагора
BC2 + AB2 = AC2, или x2 + 4x2 = 4R2,
откудаx2=${\frac{4}{5}}$R2. Следовательно,
SABCD = 2S$\scriptstyle \Delta$ABC = 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC . AB = 2x2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{5}}$R2.
Ответ

${\frac{8}{5}}$R2.

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет