Задание по олимпиадной математике: касающиеся окружности вокруг одной
Задача
Дана окружность радиуса R. Четыре окружности равных радиусов касаются данной внешним образом, и каждая из этих четырёх окружностей касается двух других. Найдите радиусы этих четырёх окружностей.
Решение
Пусть R — радиус данной окружности, x — радиус остальных окружностей. Обозначим их центры соответственно O, O1, O2, O3, O4.
Четырёхугольник O1O2O3O4 — ромб со стороной 2x. Поскольку его вершины расположены на одинаковом расстоянии от точки O, то это квадрат. Поэтому 2x = (R + x)$\sqrt{2}$. Отсюда находим, что
x = $\displaystyle {\frac{R}{\sqrt{2} - 1}}$.
Ответ
${\frac{R}{\sqrt{2} - 1}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет