Математическая задача по планиметрии: точка пересечения диагоналей и р

  Пусть O – центр окружности; R – её радиус; P, F и Q – точки касания со сторонами BC, CD и AD соответственно; K – проекция точки M на сторону AB. Тогда

CF = CP = BC – BP = BC – R, DF = DQ = AD – AQ = AD – R.

  Из прямоугольного треугольника COD получаем, что   R² = OF² = CF·DF = (BC – R)(AD – R).  Отсюда    (последнее равенство доказано в решении задачи 215592).

  Поскольку  AB = 2R,  то   S = S_DMC = S_AMB = ½ AB·KM = R².