Задание олимпиады по планиметрии: условие описанности четырёхугольника
Нет ответа
Задача
Докажите, что около четырёхугольника, сумма противоположных углов которого равна 180o, можно описать окружность.
Решение
Пусть ABCD — данный четырёхугольник и $\angle$BAD + $\angle$BCD = 180o. Опишем окружность около треугольника ABD. Если точка C окажется на этой окружности, то утверждение доказано.
Пусть точка C находится внутри окружности. Продолжим луч DC до пересечения с окружностью в точке C1. Тогда
$\displaystyle \angle$BC1D + $\displaystyle \angle$BAD = 180o
(свойство вписанного четырёхугольника). Поэтому$\angle$BCD=$\angle$BC1D.
ПосколькуBCD— внешний угол треугольникаCBB1, то
$\displaystyle \angle$BCD = $\displaystyle \angle$BC1D + $\displaystyle \angle$CBC1,
что невозможно.
Аналогично для случая, когда C1 — вне окружности.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет