Приписывание троек к числу и составное число — задание олимпиады

Пусть $N$ – изначальное число с одной приписанной тройкой. Поскольку $N$ оканчивается на $3$, оно взаимно просто с $10$. Покажем, что найдётся число из одних единиц, кратное $N$. Действительно, рассмотрим числа $1$, $11$, ..., $\underbrace{11...1}{N+1}$– всего$N+1$число, а различных остатков от деления на$N$только$N$. Значит, два из этих чисел дают одинаковые остатки при делении на$N$. Тогда их разность $$\underbrace{11...1}{m} - \underbrace{11...1}{n} = \underbrace{11...1}{m-n} \cdot 10^n$$ делится на $N$. Поскольку $N$ и 10 взаимно просты, на $N$ делится число $\underbrace{11...1}_{m-n}.$

Остаётся заметить, что тогда и $\underbrace{33...3}{m-n} = 3 \cdot \underbrace{11...1}{m-n}$делится на$N$, а значит, если мы припишем справа к$N$ещё$m-n$троек, то результат будет делиться на$N$.