Олимпиадные задачи по математике

<i>a, b, c</i> – целые числа, причём  <i>a + b + c</i>  делится на 6. Докажите, что  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³  тоже делится на 6.

<i>a</i> и <i>b</i> – натуральные числа, причём число  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 21. Докажите, что оно делится и на 441.

Натуральные числа <i>x, y, z</i> таковы, что  <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>z</i>².  Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

а) Докажите, что  <i>p</i>² – 1  делится на 24, если <i>p</i> – простое число и  <i>p</i> > 3.

б) Докажите, что  <i>p</i>² – <i>q</i>²  делится на 24, если <i>p</i> и <i>q</i> – простые числа, большие 3.

Докажите, что  <i>n</i>³ – <i>n</i>  делится на 24 при любом нечётном <i>n</i>.

Докажите, что  <i>n</i>³ + 2  не делится на 9 ни при каком натуральном <i>n</i>.

Докажите, что  <i>n</i>² + 1  не делится на 3 ни при каком натуральном <i>n</i>.

Докажите, что  <i>n</i>⁵ + 4<i>n</i>  делится на 5 при любом натуральном <i>n</i>.

Докажите, что  <i>n</i>³ + 2<i>n</i>  делится на 3 для любого натурального <i>n</i>.

Найдите остатки от деления

  а)  1989·1990·1991 + 1992²  на 7;

  б) 9¹⁰⁰ на 8.

Докажите, что для любых натуральных чисел <i>a</i> и <i>b</i> верно равенство  НОД(<i>a, b</i>)НОК(<i>a, b</i>) = <i>ab</i>.

Решите в целых числах уравнение:  <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> – 3 = 0.

Решите в натуральных числах уравнение:

  а)  <i>x</i>² – <i>y</i>² = 31;

  б)  <i>x</i>² – <i>y</i>² = 303.

Целые числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что  56<i>a</i> = 65<i>b</i>.  Докажите, что &nbsp <i>a + b</i>  – составное число.

Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?

Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нем все цифры на буквы, причём одинаковые цифры – на одинаковые буквы, а разные – на разные. В итоге у него получилось  АБ×ВГ = ДДЕЕ.  Докажите, что он где-то ошибся.

Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, является точным квадратом.

На сколько нулей оканчивается число 100!?

Может ли <i>n</i>! оканчиваться ровно на пять нулей?

Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится   а) на 30;   б) на 120.

Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.

Пусть <i>p</i> и <i>q</i> – различные простые числа. Сколько делителей у числа

  а)  <i>pq</i>;

  б)  <i>p</i>²<i>q</i>;

  в)  <i>p</i>²<i>q</i>²;

  г)  <i>p^mqⁿ</i>?

Сколькими способами можно разбить 14 человек на пары?

Кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестёрка. Сколько их?

Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трёх букв Б?