Олимпиадные задачи по математике

Пусть <i>p</i> – простое число. Докажите, что  (<i>a + b</i>)^<i>p</i> ≡ <i>a^p + b^p</i> (mod <i>p</i>)  для любых целых <i>a</i> и <i>b</i>.

Докажите, что число  30²³⁹ + 239³⁰  составное.

Докажите, что  7¹²⁰ – 1  делится на 143.

Найдите остаток от деления 8⁹⁰⁰ на 29.

Докажите, что  300³⁰⁰⁰ – 1  делится на 1001.

Найдите остаток от деления 3¹⁰² на 101.

Найдите остаток от деления 2¹⁰⁰ на 101.

Пусть  <i>ka ≡ kb</i> (mod <i>kn</i>).  Тогда  <i>a ≡ b</i> (mod <i>n</i>).

Пусть  <i>ka ≡ kb</i> (mod <i>m</i>),  <i>k</i> и <i>m</i> взаимно просты. Тогда  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>).

Решите уравнение  <i>x</i>² – 5<i>y</i>² = 1  в целых числах.

Решите в натуральных числах уравнение  <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>z</i>².

Решите уравнение в целых числах:  <i>x</i>³ + 3 = 4<i>y</i>(<i>y</i> + 1).

Докажите, что уравнение  ¹/_<i>x</i> – ¹/_<i>y</i> = ¹/_<i>n</i>  имеет единственное решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда <i>n</i> – простое число.

Решить в целых числах уравнение  <i>x</i>² – <i>y</i>² = 1988.

Решить в целых числах уравнение  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ¹/_<i>c</i> = 1.

Решить в целых числах уравнение  3^<i>m</i> + 7 = 2^<i>n</i>.

Решить в целых числах уравнение  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 8<i>t</i> – 1.

Решить в целых числах уравнение  15<i>x</i>² – 7<i>y</i>² = 9.

Решить в целых числах уравнение  <i>x</i>³ + 21<i>y</i>² + 5 = 0.

Решить в целых числах уравнение  <i>x</i>² – 7<i>y</i> = 10.

Решить в целых числах уравнение  <i>x</i>² + <i>y</i>² = 4<i>z</i> – 1.

Решить в целых числах уравнение  <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>x + y</i> + 2.

Решить в целых числах уравнение  <i>x</i>² = 14 + <i>y</i>².

Решить в целых числах уравнение  <i>xy = x + y</i> + 3.

Решить в целых числах уравнение  (2<i>x + y</i>)(5<i>x</i> + 3<i>y</i>) = 7.