Олимпиадные задачи по математике

На доске написано число 8^<i>n</i>. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число, если<i>n</i> = 1989?

Есть три печатающих автомата. Первый по карточке с числами<i>a</i>и<i>b</i>выдает карточку с числами<i>a</i> + 1 и<i>b</i> + 1; второй по карточке с четными числами<i>a</i>и<i>b</i>выдает карточку с числами<i>a</i>/2 и<i>b</i>/2; третий автомат по паре карточек с числами<i>a</i>,<i>b</i>и<i>b</i>,<i>c</i>выдает карточку с числами<i>a</i>,<i>c</i>. Все автоматы возвращают заложенные в них карточки. Можно ли с помощью этих автоматов из карточки (5, 19) получить карточку (1, 1988)?

Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять металлический рубль на 26 монет?

В странах Диллии и Даллии денежными единицами являются диллеры и даллеры соответственно, причем в Диллии диллер меняется на 10 даллеров, а в Даллии даллер меняется на 10 диллеров. Начинающий финансист имеет 1 диллер и может свободно перезжать из одной страны в другую и менять свои деньги в обеих странах. Докажите, что количество даллеров у него никогда не сравняется с количеством диллеров.

Иван-царевич имеет два волшебных меча, один из которых может отрубить Змею Горынычу 21 голову, а второй - 4 головы, но тогда у Змея Горыныча отрастает 1985 голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у него было 100 голов? (Примечание: если, например, у Змея Горыныча осталось лишь три головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя).

Можно ли доску размерами 4 × <i>N</i>обойти ходом коня, побывав на каждом поле ровно один раз, и вернуться на исходное поле?

Дно прямоугольной коробки вымощено плитками 1 × 4 и 2 × 2. Плитки высыпали из коробки и одна плитка 2 × 2 потерялась. Ее заменили на плитку 1 × 4. Докажите, что теперь дно коробки вымостить не удастся.

Фигура "верблюд" ходит по доске 10 × 10 ходом типа (1, 3) (то есть, она сдвигается сначала на соседнее поле, а затем сдвигается еще на три поля в перпендикулярном направлении; конь, например, ходит ходом типа (1, 2)). Можно ли пройти ходом "верблюда" с какого-то исходного поля на соседнее с ним?

В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа 1 и –1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят единицы. Разрешается изменять знак в любых <i>k</i> подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число –1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если   а)  <i>k</i> = 3;   б)  <i>k</i> = 4;   в)  <i>k</i> = 6.

Пусть связный плоский граф с <i>V</i> вершинами и <i>E</i> рёбрами разрезает плоскость на <i>F</i> кусков. Докажите формулу Эйлера:  <i>V – E + F</i> = 2.

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1989. Разрешается стереть любые два числа и написать вместо них разность этих чисел.

Можно ли добиться того, чтобы все числа на доске стали нулями?

В таблице 8×8 все четыре угловые клетки закрашены чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

В таблице 3×3 одна из угловых клеток закрашена чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

В таблице 8×8 одна из клеток закрашена чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

На шести ёлках сидят шесть чижей, на каждой ёлке – по чижу. Ёлки растут в ряд с интервалами в 10 метров. Если какой-то чиж перелетает с одной ёлки на другую, то какой-то другой чиж обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении.

  а) Могут ли все чижи собраться на одной ёлке?

  б) А если чижей и ёлок – семь?

На доске выписаны числа 1, 2, ..., 20. Разрешается стереть любые два числа <i>a</i> и <i>b</i> и заменить их на число  <i>ab + a + b</i>.

Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 19, 20. Разрешается стереть любые два числа <i>a</i> и <i>b</i> и вместо них написать число  <i>a + b</i> – 1.

Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

Круг разделён на шесть секторов, в каждом из которых стоит фишка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора.

Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?

В алфавите языка племени УЫУ всего две буквы: У и Ы. Известно, что смысл слова не изменится

  если из слова выкинуть стоящие рядом буквы УЫ и

  при добавлении в любое место слова буквосочетания ЫУ или УУЫЫ.

Можно ли утверждать, что слова УЫЫ и ЫУУ имеют одинаковый смысл?

Имеется куб размером 10×10×10, состоящий из маленьких единичных кубиков. В центре <i>O</i> одного из угловых кубиков сидит кузнечик. Он может прыгать в центр кубика,имеющего общую грань с тем, в котором кузнечик находится в данный момент; причём так, чтобы расстояние до точки <i>O</i> увеличивалось. Сколькими способами кузнечик может допрыгать до кубика, противоположного исходному?

Найдите число прямоугольников, составленных из клеток доски с <i>m</i> горизонталями и <i>n</i> вертикалями, которые содержат клетку с координатами  (<i>p, q</i>).

На каждом борту лодки должно сидеть по четыре человека. Сколькими способами можно выбрать команду для этой лодки, если есть 31 кандидат, причём десять человек хотят сидеть на левом борту лодки, двенадцать – на правом, а девяти безразлично где сидеть?

Ладья стоит на левом поле клетчатой полоски 1×30 и за ход может сдвинуться на любое количество клеток вправо.

  а) Сколькими способами она может добраться до крайнего правого поля?

  б) Сколькими способами она может добраться до крайнего правого поля ровно за семь ходов?

Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в каждой половине было по два туза?

Сколько существует целых чисел от 0 до 999999, в десятичной записи которых нет двух стоящих рядом одинаковых цифр?