Олимпиадные задачи по математике

<i>a, b, c, d</i> – положительные числа. Докажите, что   <img width="286" height="56" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30871/problem_30871_img_2.gif">

Докажите, что  <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ + 8 ≥ 8<i>xy</i>  при любых <i>x</i> и <i>y</i>.

Докажите, что при любых <i>a, b, c</i> имеет место неравенство  <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴ ≥ <i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).

Докажите, что  <i>x</i>² + <i>y</i>² + 1 ≥ <i>xy + x + y</i>  при любых <i>x</i> и <i>y</i>.

<i>a, b, c</i> ≥ 0.  Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/30867/problem_30867_img_2.gif">.

<i>a, b, c</i> ≥ 0.  Докажите, что  (<i>a + b</i>)(<i>a + c</i>)(<i>b + c</i>) ≥ 8<i>abc</i>.

Докажите, что  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ <i>xy + yz + zx</i>&nbsp при любых <i>x, y, z</i>.

Докажите, что   <img align="middle" src="/storage/problem-media/30864/problem_30864_img_2.gif">   при <i>x, y</i> > 0.

Докажите, что  2(<i>x</i>² + <i>y</i>²) ≥ (<i>x + y</i>)²  при любых <i>x</i> и <i>y</i>.

Докажите, что  ½ (<i>x</i>² + <i>y</i>²) ≥ <i>xy</i>  при любых <i>x</i> и <i>y</i>.

Докажите, что  <i>x</i> + ¹/_<i>x</i> ≥ 2  при  <i>x</i> > 0.

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/30860/problem_30860_img_2.gif">   при  <i>x</i> ≥ 0.

Рассмотрим число   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30859/problem_30859_img_2.gif">   Докажите, что оно а) меньше ¹/₁₀;   б) меньше ¹/₁₂;   в) больше ¹/₁₅.

Найдите наибольшее из чисел  5¹⁰⁰, 6⁹¹, 7⁹⁰, 8⁸⁵.

Сколько цифр у числа 2¹⁰⁰⁰?

Если к числу 100 применить 99 раз операцию "факториал", то получится число <i>A</i>. Если к числу 99 применить 100 раз операцию "факториал", то получится число <i>B</i>. Какое из этих двух чисел больше?

Что больше:  (1,01)¹⁰⁰⁰или 1000?

Какое число больше:  100¹⁰⁰или 50⁵⁰·150⁵⁰?

Что больше:  ^1234567/_7654321  или  ^1234568/_7654322?

Что больше:  ^10...01/_10...01  (в записи числа в числителе – 1984 нуля, в знаменателе – 1985) или  ^10...01/_10...01  (в числителе – 1985 нулей, в знаменателе – 1986).

Что больше:  1234567·1234569  или  1234568²?

Найдите все степени чисел 2, 3, 5, 6, 7, 11, 12, лежащие в промежутке от 1 до 10000 и выстройте их по порядку. Найдите среди них пары чисел, разность между которыми не превосходит 10.

Докажите, что  4⁷⁹ < 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ < 4⁸⁰.

Что больше: 7⁹² или 8⁹¹?

Докажите, что  2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ < 4¹⁰⁰.