Олимпиадные задачи по математике

<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30898/problem_30898_img_2.gif">

<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   <img width="318" height="52" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30897/problem_30897_img_2.gif">

<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   <img width="248" height="52" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30896/problem_30896_img_2.gif">

Докажите, что при  <i>n</i> ≥ 3  выполняется неравенство  <img width="226" height="52" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30895/problem_30895_img_2.gif">

<i>x, y</i> ≥ 0.  Докажите, что   <img width="203" height="34" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30894/problem_30894_img_2.gif">.

Докажите, что   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30893/problem_30893_img_2.gif">.

Докажите, что при любых <i>x, y, z</i> выполнено неравенство: <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ + <i>z</i>² + 1 ≥ 2<i>x</i>(<i>xy</i>² – <i>x + z</i> + 1).

Докажите, что при любом <i>x</i> выполняется неравенство  <i>x</i>(<i>x</i> + 1)(<i>x</i> + 2)(<i>x</i> + 3) ≥ –1.

<i>a, b, c</i> ≥ 0.  Докажите, что  2(<i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³) ≥ <i>a</i>²<i>b + ab</i>² + <i>a</i>²<i>c + ac</i>² + <i>b</i>²<i>c + bc</i>².

<i>x, y</i> > 0.  Докажите, что   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30888/problem_30888_img_2.gif">

Докажите, что   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30887/problem_30887_img_2.gif">   при любых <i>x</i> и <i>y</i>.

<i>k, l, m</i> – натуральные числа. Докажите, что  2^<i>k+l</i> + 2^<i>k+m</i> + 2^<i>l+m</i> ≤ 2^{<i>k+l+m</i>+1} + 1.

Докажите неравенство   ¼ <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² ≥ <i>ab – ac</i> + 2<i>bc</i>  при любых <i>a, b, c</i>.

<i>a + b</i> = 1.  Каково максимальное значение величины <i>ab</i>?

Решите уравнение  <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>² – <i>ab – bc – cd – d</i> + ²/₅ = 0.

Докажите неравенство Коши для пяти чисел, то есть докажите, что при   <i>a, b, c , d e</i> ≥ 0 имеет место неравенство <div align="CENTER" class="mathdisplay"><img width="206" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30881/problem_30881_img_2.gif"> </div>

Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?

Докажите, что при  <i>x</i> ≥ 0  имеет место неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/30879/problem_30879_img_2.gif">

Сумма трёх положительных чисел равна 6. Докажите, что сумма их квадратов не меньше 12.

Докажите, что при  <i>a, b, c</i> ≥ 0  имеет место неравенство  (<i>ab + bc + ca</i>)² ≥ 3<i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).

Докажите, что при  <i>a, b, c</i> > 0  имеет место неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/30876/problem_30876_img_2.gif">

Докажите, что при  <i>a, b, c</i> > 0  имеет место неравенство   ^<i>ab</i>/_<i>c</i> + ^ac/<i>_b + ^bc</i>/<i>_a ≥ a + b + c</i>.

Докажите, что при <i>a, b, c</i> > 0 имеет место неравенство   <img align="middle" src="/storage/problem-media/30874/problem_30874_img_2.gif">

Докажите, что при  <i>x</i> ≥ 0  имеет место неравенство   3<i>x</i>³ – 6<i>x</i>² + 4 ≥ 0.

<i>a, b, c</i> – положительные числа. Докажите, что   <img width="113" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30872/problem_30872_img_2.gif">