Олимпиадные задачи по математике
На шахматную доску поставлены 11 коней так, что никакие два не бьют друг друга.
Докажите, что на ту же доску можно поставить ещё одного коня с сохранением этого свойства.
В кубе с ребром длины 1 провели два сечения в виде правильных шестиугольников. Найдите длину отрезка, по которому эти сечения пересекаются.
Найдите наибольшее значение выражения <i>x</i>² + <i>y</i>², если |<i>x – y</i>| ≤ 2 и |3<i>x + y</i>| ≤ 6.
Дан правильный девятиугольник.
Сколькими способами можно выбрать три его вершины так, чтобы они являлись вершинами равнобедренного треугольника?
Через вершину <i>А</i> остроугольного треугольника <i>АВС</i> проведены касательная <i>АК</i> к его описанной окружности, а также биссектрисы <i>АN</i> и <i>AM</i> внутреннего и внешнего углов при вершине <i>А</i> (точки <i>М, K</i> и <i>N</i> лежат на прямой <i>ВС</i>). Докажите, что <i>MK = KN</i>.
Сравните: sin 3 и sin 3°.
На какую наибольшую степень двойки делится число 10<sup>20</sup> – 2<sup>20</sup>?
Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами квадрата. Обязательно ли исходный четырёхугольник является квадратом?
Последовательность <i>a<sub>n</sub></i> задана условием: <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a<sub>n</sub> – a</i><sub><i>n</i>–1</sub>. Найдите <i>a</i><sub>100</sub>, если <i>a</i><sub>1</sub> = 3, <i>a</i><sub>2</sub> = 7.
В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде середина <i>N</i> ребра <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> верхней грани <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub> соединена с серединой <i>M</i> ребра <i>AB</i> нижней грани <i>ABCD</i>. Прямые <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и <i>AB</i> не лежат в одной плоскости. Докажите, что проекции рёбер <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и <i>AB</i> на прямую <i>MN</i> равн...
В десятичной записи некоторого числа цифры расположены слева направо в порядке убывания. Может ли это число быть кратным числу 111?
Точка <i>Х</i> расположена на диаметре <i>АВ</i> окружности радиуса <i>R</i>. Точки <i>K</i> и <i>N</i> лежат на окружности в одной полуплоскости относительно <i>АВ</i>,
а ∠<i>KXA</i> = ∠<i>NXB</i> = 60°. Найдите длину отрезка <i>KN</i>.
Функция <i>f</i>(<i>x</i>) такова, что для всех значений <i>x</i> выполняется равенство <i>f</i>(<i>x</i> + 1) = <i>f</i>(<i>x</i>) + 2<i>x</i> + 3. Известно, что <i>f</i>(0) = 1. Найдите <i>f</i>(2012).
Туристическая фирма провела акцию: "Купи путевку в Египет, приведи четырёх друзей, которые также купят путевку, и получи стоимость путевки обратно". За время действия акции 13 покупателей пришли сами, остальных привели друзья. Некоторые из них привели ровно по четыре новых клиента, а остальные 100 не привели никого. Сколько туристов отправились в Страну Пирамид бесплатно?
Известно, что tg <i>A</i> + tg <i>B</i> = 2 и ctg <i>A</i> + ctg <i>B</i> = 3. Найдите tg (<i>A + B</i>).
Даны <i>n</i> + 1 попарно различных натуральных чисел, меньших 2<i>n</i> (<i>n</i> > 1).
Докажите, что среди них найдутся три таких числа, что сумма двух из них равна третьему.
Дана равнобокая трапеция <i>ABCD</i> (<i>AD || BC</i>). На дуге <i>AD</i> (не содержащей точек <i>B</i> и <i>C</i>) описанной окружности этой трапеции произвольно выбрана точка <i>M</i>. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из вершин <i>A</i> и <i>D</i> на отрезки <i>BM</i> и <i>CM</i>, лежат на одной окружности.
Вася придумал новую шахматную фигуру "супер-слон". Один "супер-слон" (обозначим его <i>A</i>) бьёт другого (обозначим его <i>B</i>), если они стоят на одной диагонали, между ними нет фигур, и следующая по диагонали клетка за "супер-слоном" <i>B</i> свободна. Например, на рисунке фигура <i>a</i> бьёт фигуру <i>b</i>, но не бьёт ни одну из фигур <i>c, d, e, f</i> и <i>g</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116871/problem_116871_img_2.gif"></div>Какое наибольшее количество "супер-слонов" можно поставить на шахматную доску так, чтобы каждый из них бился хотя бы одним другим?
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> отмечены точки <i>L</i> и <i>K</i> соответственно, <i>M</i> – точка пересечения отрезков <i>AK</i> и <i>CL</i>. Известно, что площадь треугольника <i>AMC</i> равна площади четырёхугольника <i>LBKM</i>. Найдите угол <i>AMC</i>.
Квадратный трёхчлен <i>ax</i>² + 2<i>bx + c</i> имеет два различных корня, а квадратный трёхчлен <i>a</i>²<i>x</i>² + 2<i>b</i>²<i>x + c</i>² корней не имеет.
Докажите, что у первого трёхчлена корни разного знака.
Расставьте в кружках, расположенных в вершинах квадрата и в его центре, пять натуральных чисел так, чтобы каждые два числа, соединенные отрезком, имели общий делитель, больший 1, а любые два числа, не соединенные отрезком, были бы взаимно просты. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116868/problem_116868_img_2.gif"></div>
На полянке собрались божьи коровки. Если у божьей коровки на спине шесть точек, то она всегда говорит правду, а если четыре точки – то она всегда лжёт, а других божьих коровок на полянке не было. Первая божья коровка сказала: "У каждой из нас одинаковое количество точек на спине". Вторая сказала: "У всех вместе на спинах 30 точек". – "Нет, у всех вместе 26 точек на спинах", – возразила третья. "Из этих троих ровно одна сказала правду", – заявила каждая из остальных божьих коровок. Сколько всего божьих коровок собралось на полянке?
Ребёнок поставил четыре одинаковых кубика так, что буквы на сторонах кубиков, обращённых к нему, образуют его имя (см. рисунок). Нарисуйте, как расположены остальные буквы на данной развёртке кубика и определите, как зовут ребёнка. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116866/problem_116866_img_2.gif"></div>
На доске записан ряд из чисел и звёздочек: 5, *, *, *, *, *, *, 8. Замените звёздочки числами так, чтобы сумма каждых трёх чисел, стоящих подряд, равнялась 20.
На блюде лежали 15 плюшек. Карлсон взял себе в три раза больше плюшек, чем Малыш, а собака Малыша Бимбо – в три раза меньше, чем Малыш. Сколько плюшек осталось на блюде?