Олимпиадные задачи по математике
На доске начерчен выпуклый четырёхугольник. Алёша утверждает, что его можно разрезать диагональю на два остроугольных треугольника. Боря – что можно на два прямоугольных, а Вася – что на два тупоугольных.
Оказалось, что ровно один из троих неправ. Про кого можно наверняка утверждать, что он прав?
На дверце сейфа написано произведение степеней<i>a</i><sup><i>n</i></sup><i>b</i><sup><i>m</i></sup><i>c</i><sup><i>k</i></sup>. Чтобы дверца открылась, надо заменить каждую из шести букв натуральным числом так, чтобы в произведении получился куб натурального числа. Пинки, не подумав, уже заменил какие-то три буквы числами. Всегда ли Брейн сможет заменить три оставшиеся, чтобы дверца открылась?
Бабе-Яге подарили большие песочные часы на 5 минут и маленькие – на 2 минуты. Зелье должно непрерывно кипеть ровно 8 минут. Когда оно закипело, весь песок в больших часах находился в нижней половине, а в маленьких – какая-то (неизвестная) часть песка в верхней, а остальная часть – в нижней половине. Помогите Бабе-Яге отмерить ровно 8 минут.
(Песок все время сыплется с постоянной скоростью. На переворачивание время не тратится.)
Внутри забора, представляющего собой замкнутую несамопересекающуюся ломаную, заперт тигр. На рисунке видна только часть забора (положение тигра показано крестиком). Нарисуйте, как мог бы выглядеть весь забор (забор может идти только по линиям сетки).<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116368/problem_116368_img_2.gif"></div>
Один торговец продает сливы по 150 рублей за килограмм, а второй – по 100 рублей. Но у первого косточка занимает треть веса каждой сливы, а у второго – половину. Чьи сливы выгоднее покупать?
В треугольнике<i>ABC</i>известно, что<i>AB</i>= 10,<i>BC</i>= 24, а медиана<i>BD</i>равна 13. Окружности, вписанные в треугольники<i>ABD</i>и<i>BDC</i>касаются медианы<i>BD</i>в точках<i>M</i>и<i>N</i>соответственно. Найдите<i>MN</i>.
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, равные 4 и 9. Найдите площадь трапеции.
Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, равные 1 и 4. Найдите площадь трапеции.
Стороны треугольника равны 16, 10, 10. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.
Стороны треугольника равны 17, 17, 30. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.
Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей прямоугольного треугольника с катетом, равным 2, и противолежащим острым углом в 30°.
Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 3, 4, 5.
Точки <i>M</i> и <i>K</i> расположены на боковой стороне <i>AB</i>, а точки <i>NL</i> – на боковой стороне <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i>, причём <i>MN || AD</i>. Известно, что площади трапеций <i>MBCN</i> и <i>MADN</i> относятся как 1 : 5. Найдите <i>MN</i> и <i>KL</i>, если <i>BC = a, AD = b</i>.
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на боковых сторонах соответственно <i>AB</i> и <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i>, причём <i>MN</i> || <i>AD</i>. Известно, что площадь трапеции <i>MBCN</i> относится к площади трапеции <i>AMND</i> как 2 : 3. Найдите <i>MN</i>, если <i>BC = a, AD = b</i>.
На сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i>, <i>CD</i> и <i>AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> расположены точки <i>M</i>, <i>N</i>, <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, причём <i>AM</i> : <i>MB</i> = 3 : 2, <i>CN</i> : <i>NB</i> = 2 : 3, <i>CK = KD</i> и <i>AL</i> : <i>LD</i> = 1 : 2. Найдите отношение площади шестиугольника <i>MBNKDL</i> к площади четырёхугольника <i>ABCD</i>.
На сторонах <i>BC, AC</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> соответственно, причём <i>BA</i><sub>1</sub> : <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i>= <i>CB</i><sub>1</sub> : <i>B</i><sub>1</sub><i>A</i> = <i>AC</i><sub>1</sub> : <i>C</i><sub>1</sub><i>B</i> = 1 : 3. Найдите площадь треугольника, образованного пересечениями прямых <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>C...
На сторонах <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты соответственно точки <i>M</i> и <i>N</i>, причём <i>CM</i> : <i>MB</i> = 1 : 3 и <i>AN</i> : <i>NC</i> = 3 : 2. Отрезки <i>AM</i> и <i>BN</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Найдите площадь четырёхугольника <i>CMKN</i>, если известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1.
В треугольнике <i>ABC</i> известны стороны <i>BC = a</i>, <i>AC = b</i>, <i>AB = c</i> и площадь <i>S</i>. Биссектрисы <i>BL</i> и <i>AK</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите площадь четырёхугольника <i>CKOL</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> известны стороны <i>BC = a</i>, <i>AC = b</i>, <i>AB = c</i> и площадь <i>S</i>. Биссектрисы <i>BN</i> и <i>CK</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите площадь треугольника <i>BOK</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> известны стороны <i>BC = a</i>, <i>AC = b</i>, <i>AB = c</i> и площадь <i>S</i>. Биссектрисы <i>BM</i> и <i>CN</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите площадь треугольника <i>BOC</i>.
На сторонах <i>BC</i>, <i>AC</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> соответственно, причём <i>BA</i><sub>1</sub> : <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i> = <i>CB</i><sub>1</sub> : <i>B</i><sub>1</sub><i>A</i> = <i>AC</i><sub>1</sub> : <i>C</i><sub>1</sub><i>B</i> = 2 : 3. Найдите площадь треугольника, образованного пересечениями прямых <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</su...
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены соответственно на сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>, причём <i>AM</i> : <i>MB</i> = 1 : 2, <i>AN</i> : <i>NC</i> = 3 : 2. Прямая <i>MN</i> пересекает продолжение стороны <i>BC</i> в точке <i>F</i>. Найдите <i>CF</i> : <i>BC</i>.
Точка <i>M</i> расположена на стороне <i>AB</i> параллелограмма <i>ABCD</i>, причём <i>BM</i> : <i>MA</i> = 1 : 2. Отрезки <i>DM</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Известно, что площадь параллелограмма <i>ABCD</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>BCPM</i>.
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>K</i> и <i>L</i> – на стороне <i>AB</i>, причём <i>AM</i> : <i>MN</i> : <i>NC</i> = 1 : 3 : 1 и <i><span lang="EN">AK = KL = LB</span></i>. Известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>KLNM</i>.
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>, а точка <i>K</i> – на стороне <i>AC</i>, причём <i>BM</i> : <i>MN</i> : <i>NC</i> = 1 : 1 : 2 и <i>CK</i> : <i>AK</i> = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>AMNK</i>.