Олимпиадные задачи по математике

В прямоугольном треугольнике <i>АВС</i> угол <i>А</i> равен 60°, <i>М</i> – середина гипотенузы <i>АВ</i>.

Найдите угол <i>IMA</i>, где <i>I</i> – центр окружности, вписанной в данный треугольник.

Известно, что <i>x, y</i> и <i>z</i> – целые числа и  <i>xy + yz + zx</i> = 1.  Докажите, что число  (1 + <i>x</i>²)(1 + <i>y</i>²)(1 + <i>z</i>²)  является квадратом натурального числа.

Найдите наименьшее натуральное значение <i>n</i>, при котором число <i>n</i>! делится на 990.

Найдите среднюю линию равнобокой трапеции, если ее диагональ равна 25, а высота равна 15.

Для некоторых чисел <i>а, b, c</i> и <i>d</i>, отличных от нуля, выполняется равенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116531/problem_116531_img_2.gif"> .   Найдите знак числа <i>ас</i>.

Можно ли начертить два треугольника так, чтобы образовался девятиугольник?

В треугольнике <i>АВС</i> проведена биссектриса <i>BD</i>. Докажите, что <i>АВ</i> > <i>AD</i>.

Решите уравнение:   (<i>x</i> + 2010)(<i>x</i> + 2011)(<i>x</i> + 2012) = (<i>x</i> + 2011)(<i>x</i> + 2012)(<i>x</i> + 2013).

В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i>₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AA</i>₁ < <i>AD</i> < <i>AB</i>. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i>₁<i>A</i>₁, <i>ADD</i&g...

В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i>₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AD</i> < <i>AB</i> < <i>AA</i>₁. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i>₁<i>A</i>₁, <i>ADD</i&g...

В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i>₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AB</i> < <i>AA</i>₁ < <i>AD</i>. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i>₁<i>A</i>₁, <i>ADD</i&g...

В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i>₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AA</i>₁ < <i>AB</i> < <i>BC</i>. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i>₁<i>A</i>₁, <i>ADD</i&gt...

Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> лежит на ребре <i>CD</i> и  2<i>DF = FC</i>,  точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB,  AB</i> = 3<i>BS</i>  и точка <i>B</i> лежит между <i>A</i> и <i>S</i>. В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?

Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> – середина ребра <i>CD</i>, точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB,  AB</i> = 2<i>BS</i>,  точка <i>B</i> лежит между <i>A</i> и <i>S</i>. В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?

Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> – середина ребра <i>CD</i>, точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB</i>,  2<i>AB = BS</i>  и точка <i>B</i> лежит между <i>A</i> и <i>S</i>. В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?

Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> – середина ребра <i>CD</i>, точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB,  S ≠ A,  AB = BS</i>.  В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?

В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> сторона основания <i>ABC</i> равна 4, угол между плоскостью основания <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116519/problem_116519_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины отрезков <i>AB</i>, <i>DK</i>, <i>AC</i> соответственно, точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>CM</i> и 5<i>ME = CE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>CM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i...

В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> длина бокового ребра равна 12, а угол между основанием <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116518/problem_116518_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины рёбер <i>AB</i>, <i>CD</i>, <i>AC</i> соответственно. Точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>KM</i> и 2<i>ME</i> = <i>KE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>KM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i>N</i...

В кубе <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁, ребро которого равно 6, точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины рёбер <i>AB</i> и <i>B</i>₁<i>C</i>₁ соответственно, а точка <i>K</i> расположена на ребре <i>DC</i> так, что

<i>DK</i> = 2<i>KC</i>.  Найдите

  а) расстояние от точки <i>N</i> до прямой <i>AK</i>;

  б) расстояние между прямыми <i>MN</i> и <i>AK</i>;

  в) расстояние от точки <i>A</i>₁ до плоскости треуго...

Сторона основания <i>ABCD</i> правильной пирамиды <i>SABCD</i> равна <img align="middle" src="/storage/problem-media/116516/problem_116516_img_2.gif">, угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116516/problem_116516_img_3.gif">. Точка <i>M</i> – середина ребра <i>SD</i>, точка <i>K</i> – середина ребра <i>AD</i>. Найдите:1) объём пирамиды <i>CMSK</i>;2) угол между прямыми <i>CM</i> и <i>SK</i>;3) расстояние между прямыми <i>CM</i> и <i>SK</i>.

В пространстве заданы три луча: <i>DA</i>, <i>DB</i> и <i>DC</i>, имеющие общее начало <i>D</i>, причём ∠<i>ADB</i> = ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BDC</i> = 90°. Сфера пересекает луч <i>DA</i> в точках <i>A</i>₁ и <i>A</i>₂, луч <i>DB</i> – в точках <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂, луч <i>DC</i> – в точках <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂. Найдите площадь треугольника <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i><sub>2</s...

Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.

Все грани треугольной пирамиды – прямоугольные треугольники. Наибольшее ребро равно <i>a</i>, а противоположное ребро равно <i>b</i>. Двугранный угол при наибольшем ребре равен α. Найдите объём пирамиды.

Через центр вписанной окружности четырёхугольника <i>ABCD</i> проведена прямая. Она пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>X</i> и сторону <i>CD</i> в точке <i>Y</i>; известно, что  ∠<i>AXY</i> = ∠<i>DYX</i>.  Докажите, что  <i>AX</i> : <i>BX = CY</i> : <i>DY</i>.

Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, точка <i>C</i>₁ симметрична <i>C</i> относительно <i>O</i>, <i>D</i> – середина стороны <i>AB</i>, <i>K</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ODC</i>₁. Докажите, что точка <i>O</i> делит пополам отрезок прямой <i>OK</i>, лежащий внутри угла <i>ACB</i>.