Олимпиадные задачи по математике
На плоскости нарисованы <i>n</i> > 2 различных векторов <i><b>a</b></i><sub>1</sub>, <i><b>a</b></i><sub>2</sub>, ..., <i><b>a</b><sub>n</sub></i> с равными длинами. Оказалось, что все векторы –<i><b>a</b></i><sub>1</sub> + <i><b>a</b></i><sub>2</sub> + ... + <i><b>a</b><sub>n</sub></i>,
<i><b>a</b></i><sub>1</sub> – <i><b>a</b></i><sub>2</sub> + <i><b>a</b></i><sub>3</sub> + ... + <i><b>a</b><sub>n</sub></i>, <...
Через вершины основания четырёхугольной пирамиды <i>SABCD</i> проведены прямые, параллельные противоположным боковым рёбрам (через вершину <i>A</i> – параллельно <i>SC</i>, и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – параллелограмм.
Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.
В трапеции <i>ABCD</i> боковая сторона <i>CD</i> перпендикулярна основаниям, <i>O</i> – точка пересечения диагоналей. На описанной окружности треугольника <i>OCD</i> взята точка <i>S</i>, диаметрально противоположная точке <i>O</i>. Докажите, что ∠<i>BSC</i> = ∠<i>ASD</i>.
Петя выбрал натуральное число <i>a</i> > 1 и выписал на доску пятнадцать чисел 1 + <i>a</i>, 1 + <i>a</i>², 1 + <i>a</i>³, ..., 1 + <i>a</i><sup>15</sup>. Затем он стёр несколько чисел так, что каждые два оставшихся числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел могло остаться на доске?
Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?
На окружности отмечено 2<i>N</i> точек (<i>N</i> – натуральное число). Известно, что через любую точку внутри окружности проходит не более двух хорд с концами в отмеченных точках. Назовем <i>паросочетанием</i> такой набор из <i>N</i> хорд с концами в отмеченных точках, что каждая отмеченная точка является концом ровно одной из этих хорд. Назовём паросочетание <i>чётным</i>, если количество точек, в которых пересекаются его хорды, чётно, и <i>нечётным</i> иначе. Найдите разность между количеством чётных и нечётных паросочетаний.
Последовательность чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ... задана условиями <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub> = 143 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116589/problem_116589_img_2.gif"> при всех <i>n</i> ≥ 2.
Докажите, что все члены последовательности – целые числа.
Дан выпуклый шестиугольник <i>ABCDEF</i>. Известно, что ∠<i>FAE</i> = ∠<i>BDC</i>, а четырёхугольники <i>ABDF</i> и <i>ACDE</i> являются вписанными.
Докажите, что прямые <i>BF</i> и <i>CE</i> параллельны.
Даны десять положительных чисел, каждые два из которых различны. Докажите, что среди них найдутся либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь двух из оставшихся, либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь четырёх из оставшихся.
Дан квадрат <i>n</i>×<i>n</i>. Изначально его клетки раскрашены в белый и чёрный цвета в шахматном порядке, причём хотя бы одна из угловых клеток чёрная. За один ход разрешается в некотором квадрате 2×2 одновременно перекрасить входящие в него четыре клетки по следующему правилу: каждую белую перекрасить в чёрный цвет, каждую чёрную – в зелёный, а каждую зелёную – в белый. При каких <i>n</i> за несколько ходов можно получить шахматную раскраску, в которой чёрный и белый цвета поменялись местами?
На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> отметили произвольную точку <i>D</i>. Точки <i>E</i> и <i>F</i> симметричны точке <i>D</i> относительно биссектрис углов <i>A</i> и <i>C</i> соответственно. Докажите, что середина отрезка <i>EF</i> лежит на прямой <i>A</i><sub>0</sub><i>C</i><sub>0</sub>, где <i>A</i><sub>0</sub> и <i>C</i><sub>0</sub> – точки касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со сторонами <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно.
Числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что <i>a</i>³ – <i>b</i>³ = 2, <i>a</i><sup>5</sup> – <i>b</i><sup>5</sup> ≥ 4. Докажите, что <i>a</i>² + <i>b</i>² ≥ 2.
Фокусник выкладывает 36 карт в виде квадрата 6×6 (в 6 столбцов по 6 карт) и просит Зрителя мысленно выбрать карту и запомнить столбец, её содержащий. После этого Фокусник определённым образом собирает карты, снова выкладывает в виде квадрата 6×6 и просит Зрителя назвать номера столбцов, содержащих выбранную карту в первый и второй раз. После ответа Зрителя Фокусник безошибочно отгадывает карту. Как действовать Фокуснику, чтобы фокус гарантированно удался?
Целые числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что при любых натуральных <i>m</i> и <i>n</i> число <i>am</i>² + <i>bn</i>² является точным квадратом. Докажите, что <i>ab</i> = 0.
За круглым столом сидят 30 человек – рыцари и лжецы (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Известно, что у каждого из них за этим же столом есть ровно один друг, причём у рыцаря этот друг – лжец, а у лжеца этот друг – рыцарь (дружба всегда взаимна). На вопрос "Сидит ли рядом с вами ваш друг?" сидевшие через одного ответили "Да". Сколько из остальных могли также ответить "Да"?
Окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> касаются внешним образом в точке <i>P</i>. Через центр ω<sub>1</sub> проведена прямая <i>l</i><sub>1</sub>, касающаяся ω<sub>2</sub>. Аналогично прямая <i>l</i><sub>2</sub> касается ω<sub>1</sub> и проходит через центр ω<sub>2</sub>. Оказалось, что прямые <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub> непараллельны. Докажите, что точка <i>P</i> лежит на биссектрисе одного из углов, образованных <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>.
На доске написаны несколько чисел. Известно, что квадрат каждого записанного числа больше произведения любых двух других записанных чисел. Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?
Даны 11 гирь разного веса (одинаковых нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит более 35 граммов.
Одной операцией к числу можно либо прибавить 9, либо стереть в нём в любом месте цифру 1.
Из любого ли натурального числа <i>A</i> при помощи таких операций можно получить число <i>A</i> + 1?
(Если стирается единица в самом начале числа, а за ней сразу идут нули, то эти нули тоже стираются.)
На плоскости даны шесть точек. Известно, что их можно разбить на две тройки так, что получатся два треугольника. Всегда ли можно разбить эти точки на две тройки так, чтобы получились два треугольника, которые не имеют друг с другом никаких общих точек (ни внутри, ни на границе)?
Саша написал по кругу в произвольном порядке не более ста различных натуральных чисел, а Дима пытается угадать их количество. Для этого Дима сообщает Саше в некотором порядке несколько номеров, а затем Саша сообщает Диме в том же порядке, какие числа стоят под указанными Димой номерами, если считать числа по часовой стрелке, начиная с одного и того же числа. Сможет ли Дима заведомо угадать количество написанных Сашей чисел, сообщив
а) 17 номеров;
б) менее 16 номеров?
Известно, что всякую треугольную пирамиду, противоположные рёбра которой попарно равны, можно так разрезать вдоль трёх её рёбер и развернуть, чтобы её развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116574/problem_116574_img_2.gif"></div>Найдётся ли еще какой-нибудь выпуклый многогранник, который можно так разрезать вдоль нескольких его рёбер и развернуть, чтобы его развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов?
Каково максимальное число попарно непараллельных отрезков с концами в вершинах правильного <i>n</i>-угольника?
Докажите, что диагонали <i>AD, BE, CF</i> вписанного шестиугольника <i>ABCDEF</i> пересекаются в одной точке в каждом из следующих случаев:
а) <i>AB = BC</i>, <i>CD = DE</i>, <i>EF = FA</i>;
б) <i>AB = BC</i>, <i>CD = FA</i>, <i>EF = DE</i>;
в) <i>AB = DE</i>, <i>CD = FA</i>, <i>EF = BC</i>.