Олимпиадные задачи по математике
<img align="right" src="/storage/problem-media/116673/problem_116673_img_2.gif">Кузнечик умеет прыгать только ровно на 50 см. Он хочет обойти 8 точек, отмеченных на рисунке (сторона клетки равна 10 см). Какое наименьшее количество прыжков ему придётся сделать? (Разрешается посещать и другие точки плоскости, в том числе не узлы сетки. Начинать и заканчивать можно в любых точках.)
На доске написаны четыре трёхзначных числа, в сумме дающие 2012. Для записи их всех были использованы только две различные цифры.
Приведите пример таких чисел.
Клетки доски размером 5×5 раскрашены в шахматном порядке (угловые клетки – чёрные). По чёрным клеткам этой доски двигается фигура – мини-слон, оставляя след на каждой клетке, где он побывал, и больше в эту клетку не возвращаясь. Мини-слон может ходить либо в свободные от следов соседние (по диагонали) клетки, либо прыгать (также по диагонали) через одну клетку, в которой оставлен след, на свободную клетку за ней. Какое наибольшее количество клеток сможет посетить мини-слон?
Через точку <i>Y</i> на стороне <i>AB</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, пересекающая сторону <i>BC</i> в точке <i>Z</i>, а продолжение стороны <i>CA</i> за точку <i>A</i> – в точке <i>X</i>. Известно, что <i>XY = YZ</i> и <i>AY = BZ</i>. Докажите, что прямые <i>XZ</i> и <i>BC</i> перпендикулярны.
На складах двух магазинов хранится пшено: на первом складе на 16 тонн больше, чем на втором. Каждую ночь ровно в полночь владелец каждого магазина ворует у своего конкурента четверть имеющегося на его складе пшена и перетаскивает на свой склад. Через 10 ночей воришек поймали. На каком складе в момент их поимки было больше пшена и на сколько?
В каждой клетке таблицы 10×10 записано число. В каждой строке подчеркнули наибольшее число (или одно из наибольших, если их несколько), а в каждом столбце – наименьшее (или одно из наименьших). Оказалось, что все подчёркнутые числа подчёркнуты ровно два раза. Докажите, что все числа, записанные в таблице, между собой равны.
В треугольнике <i>ABC</i> биссектриса угла <i>C</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>M</i>, а биссектриса угла <i>A</i> пересекает отрезок <i>CM</i> в точке <i>T</i>. Оказалось, что отрезки <i>CM</i> и <i>AT</i> разбили треугольник <i>ABC</i> на три равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.
Назовём натуральные числа <i>a</i> и <i>b</i> <i>друзьями</i>, если их произведение является точным квадратом. Докажите, что если <i>a</i> – друг <i>b</i>, то <i>a</i> – друг НОД(<i>a, b</i>).
Четверо детей сказали друг о друге так.
<i>Маша</i>: Задачу решили трое: Саша, Наташа и Гриша.
<i>Саша</i>: Задачу не решили трое: Маша, Наташа и Гриша.
<i>Наташа</i>: Маша и Саша солгали.
<i>Гриша</i>: Маша, Саша и Наташа сказали правду.
Сколько детей на самом деле сказали правду?
На карте обозначены четыре деревни: <i>A, B, C</i> и <i>D</i>, соединённые тропинками (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116664/problem_116664_img_2.gif"></div>В справочнике указано, что на маршрутах<i>A-B-C</i>и<i>B-C-D</i>есть по 10 колдобин, на маршруте<i>A-B-D</i>колдобин 22, а на маршруте<i>A-D-B</i>колдобин 45. Туристы хотят добраться из<i>A</i>в<i>D</i>так, чтобы на их пути было как можно меньше колдобин. По какому маршруту им надо двигаться?
Записаны шесть положительных несократимых дробей, сумма числителей которых равна сумме их знаменателей. Паша перевёл каждую из неправильных дробей в смешанное число. Обязательно ли найдутся два числа, у которых одинаковы либо целые части, либо дробные части?
План дворца шаха – это квадрат размером 6×6, разбитый на комнаты размером 1×1. В середине каждой стены между комнатами есть дверь. Шах сказал своему архитектору: "Cломай часть стен так, чтобы все комнаты стали размером 2×1, новых дверей не появилось, а путь между любыми двумя комнатами проходил не более, чем через <i>N</i> дверей". Какое наименьшее значение <i>N</i> должен назвать шах, чтобы приказ можно было выполнить?
Можно ли 100 гирь массами 1, 2, 3, ..., 99, 100 разложить на 10 кучек разной массы так, чтобы выполнялось условие: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней гирь?
Пятизначное число называется <i>неразложимым</i>, если оно не раскладывается в произведение двух трёхзначных чисел.
Какое наибольшее количество неразложимых пятизначных чисел может идти подряд?
Верёвочку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а затем все слои верёвочки разрезали в одном месте.
Какова могла быть длина верёвочки, если известно, что какие-то два из полученных кусков имели длины 9 метров и 4 метра?
На острове рыцарей и лжецов путешественник пришёл в гости к своему знакомому рыцарю и увидел его за круглым столом с пятью гостями.
– Интересно, а сколько среди вас рыцарей? – спросил он.
– А ты задай каждому какой-нибудь вопрос и узнай сам, – посоветовал один из гостей.
– Хорошо. Скажи мне каждый: кто твои соседи? – спросил путешественник.
На этот вопрос все ответили одинаково.
– Данных недостаточно! – сказал путешественник.
– Но сегодня день моего рождения, не забывай об этом, – сказал один из гостей.
– Да, сегодня день его рождения! – сказал его сосед.
И путешественник смог узнать, сколько за столом рыцарей. Действительно, сколько же их?
В равенстве ТИХО + ТИГР = СПИТ замените одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы – разными цифрами так, чтобы ТИГР был бы как можно меньше (нулей среди цифр нет).
Города <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> вместе с соединяющими их прямыми дорогами образуют треугольник. Известно, что прямой путь из <i>A</i> в <i>B</i> на 200 км короче объезда через <i>C</i>, а прямой путь из <i>A</i> в <i>C</i> на 300 км короче объезда через <i>B</i>. Найдите расстояние между городами <i>B</i> и C.
Из 16 спичек сложен ромб со стороной в две спички, разбитый на треугольники со стороной в одну спичку (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116655/problem_116655_img_2.gif"></div>А сколько спичек потребуется, чтобы сложить ромб со стороной в 10 спичек, разбитый на такие же треугольники со стороной в одну спичку?
Покажите, как разрезать квадрат размером 5×5 клеток на "уголки" шириной в одну клетку так, чтобы все "уголки" состояли из разного количества клеток. (Длины "сторон" уголка могут быть как одинаковыми, так и различными.)
Дан неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>N</i> – середина дуги <i>BAC</i> его описанной окружности, а <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>. Обозначим через <i>I</i><sub>1</sub> и <i>I</i><sub>2</sub> центры вписанных окружностей треугольников <i>ABM</i> и <i>ACM</i> соответственно. Докажите, что точки <i>I</i><sub>1</sub>, <i>I</i><sub>2</sub>, <i>A</i>, <i>N</i> лежат на одной окружности.
Для натурального <i>a</i> обозначим через <i>P</i>(<i>a</i>) наибольший простой делитель числа <i>a</i>² + 1.
Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел <i>a, b, c</i>, что <i>P</i>(<i>a</i>) = <i>P</i>(<i>b</i>) = <i>P</i>(<i>c</i>).
На столе лежит куча из более чем <i>n</i>² камней. Петя и Вася по очереди берут камни из кучи, первым берёт Петя. За один ход можно брать любое простое число камней, меньшее <i>n</i>, либо любое кратное <i>n</i> число камней, либо один камень. Докажите, что Петя может действовать так, чтобы взять последний камень независимо от действий Васи.
Даны два различных приведённых кубических многочлена <i>F</i>(<i>x</i>) и <i>G</i>(<i>x</i>). Выписали все корни уравнений <i>F</i>(<i>x</i>) = 0, <i>G</i>(<i>x</i>) = 0, <i>F</i>(<i>x</i>) = <i>G</i>(<i>x</i>). Оказалось, что выписаны восемь различных чисел. Докажите, что наибольшее и наименьшее из них не могут одновременно являться корнями многочлена <i>F</i>(<i>x</i>).
По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.