Олимпиадные задачи по математике - сложность 3-5 с решениями

На стороне <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i>  (∠<i>A</i> < 90°)  отмечена точка <i>T</i> так, что треугольник <i>ATD</i> – остроугольный. Пусть <i>O</i>₁, <i>O</i>₂ и <i>O</i>₃ – центры описанных окружностей треугольников <i>ABT</i>, <i>DAT</i> и <i>CDT</i> соответственно (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116647/problem_116647_img_2.gif"></div>Докажите, что ортоцентр треугольника<i>O</i>₁<i>O</i>₂<i>O</i>₃лежит...

Клетчатый квадрат 2010×2010 разрезан на трёхклеточные уголки. Докажите, что можно в каждом уголке отметить по клетке так, чтобы в каждой вертикали и в каждой горизонтали было поровну отмеченных клеток.

Для натуральных чисел  <i>a</i> > <i>b</i> > 1  определим последовательность  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ...  формулой   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116644/problem_116644_img_2.gif"> .   Найдите наименьшее <i>d</i>, при котором ни при каких <i>a</i> и <i>b</i> эта последовательность не содержит <i>d</i> последовательных членов, являющихся простыми числами.

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. На продолжениях <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ его высот за точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ выбраны соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что угол <i>PAQ</i> – прямой. Пусть <i>AF</i> – высота треугольника <i>APQ</i>. Докажите, что угол <i>BFC</i> – прямой.

Периметр треугольника <i>ABC</i> равен 4. На лучах <i>AB</i> и <i>AC</i> отмечены точки <i>X</i> и <i>Y</i> так, что  <i>AX = AY</i> = 1.  Отрезки <i>BC</i> и <i>XY</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что периметр одного из треугольников <i>ABM</i> и <i>ACM</i> равен 2.

Назовём компанию <i>k-неразбиваемой</i>, если при любом разбиении её на <i>k</i> групп в одной из групп найдутся два знакомых человека. Дана 3-неразбиваемая компания, в которой нет четырёх попарно знакомых человек. Докажите, что её можно разделить на две компании, одна из которых 2-неразбиваемая, а другая – 1-неразбиваемая.

В каждой клетке таблицы, состоящей из 10 столбцов и <i>n</i> строк, записана цифра. Известно, что для каждой строки <i>A</i> и любых двух столбцов найдётся строка, отличающаяся от <i>A</i> ровно в этих двух столбцах. Докажите, что  <i>n</i> ≥ 512.

В некоторых клетках доски 100×100 стоит по фишке. Назовём клетку <i>красивой</i>, если в соседних с ней по стороне клетках стоит чётное число фишек.

Может ли ровно одна клетка доски быть красивой?

Пусть <i>ABC</i> – правильный треугольник. На его стороне <i>AC</i> выбрана точка <i>T</i>, а на дугах <i>AB</i> и <i>BC</i> его описанной окружности выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что  <i>MT || BC</i>  и  <i>NT || AB</i>.  Отрезки <i>AN</i> и <i>MT</i> пересекаются в точке <i>X</i>, а отрезки <i>CM</i> и <i>NT</i> – в точке <i>Y</i>. Докажите, что периметры многоугольников <i>AXYC</i> и <i>XMBNY</i> равны.

У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально – это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 – у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>), корнями которого являются записанные в его тетради два числа, а Коля – квадратный трёхчлен <i>g</i>(<i>x</i>), корнями которого являются записанные в его тетради два числа. Если уравнение  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>x</i>)  имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни; иначе ничего не происходит. Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот момент, когда первое стало равным 5?

Существуют ли три взаимно простых в совокупности натуральных числа, квадрат каждого из которых делится на сумму двух оставшихся?

На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Окружность, проходящая через вершину <i>B</i> и центр <i>O</i> его описанной окружности, вторично пересекает стороны <i>BC</i> и <i>BA</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>POQ</i> лежит на прямой <i>AC</i>.

Каждый узел бесконечной сетки покрашен в один из четырёх цветов так, что вершины каждого квадрата со стороной 1 окрашены в разные цвета. Верно ли, что узлы одной из прямых сетки окрашены только в два цвета? (Сетка образована горизонтальными и вертикальными прямыми. Расстояние между соседними параллельными прямыми равно 1.)

Длина каждой из сторон выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i> меньше 1. Может ли длина каждой из диагоналей <i>АD, ВЕ</i> и <i>CF</i> быть не меньше 2?

Существуют ли такие значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнение   <i>х</i>⁴ – 4<i>х</i>³ + 6<i>х</i>² + <i>aх + b</i> = 0  имеет четыре различных действительных корня?

Победив Кащея, потребовал Иван золота, чтобы выкупить Василису у разбойников. Привёл его Кащей в пещеру и сказал: "В сундуке лежат золотые слитки. Но просто так их унести нельзя: они заколдованы. Переложи себе в суму один или несколько. Потом я переложу из сумы в сундук один или несколько, но обязательно другое число. Так мы будем по очереди перекладывать их: ты в суму, я в сундук, каждый раз новое число. Когда новое перекладывание станет невозможным, сможешь унести свою суму со слитками". Какое наибольшее число слитков может унести Иван, как бы ни действовал Кащей, если в сундуке исходно лежит  а) 13;  б) 14 золотых слитков? Как ему это сделать?

Известно, что Шакал всегда лжёт, Лев говорит правду, Попугай просто повторяет последний услышанный ответ (а если его спросить первым, ответит как попало), а Жираф дает честный ответ, но на предыдущий заданный ему вопрос (а на первый вопрос отвечает как попало). Мудрый Ёжик в тумане наткнулся на Шакала, Льва, Попугая и Жирафа и решил выяснить, в каком порядке они стоят. Спросив всех по очереди "Ты Шакал?", он понял только лишь, где Жираф. Спросив всех в том же порядке: "Ты Жираф?", он смог ещё понять, где Шакал, но полной ясности так и не наступило. И лишь после того как на вопрос "Ты Попугай?" первый ответил "Да", Ежу, наконец, стало ясно, в каком порядке стояли животные. Так в каком же?

("Как попало" означает, что один из ответов "Д...

Выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i> таков, что  <i>AB</i>·<i>CD</i> = <i>AD</i>·<i>BC</i>.  Докажите, что –∠<i>BAC</i> + ∠<i>CBD</i> + ∠<i>DCA</i> + ∠<i>ADB</i> = 180°.

Даны различные натуральные числа <i>a</i>, <i>b</i>. На координатной плоскости нарисованы графики функций  <i>y</i> = sin <i>ax</i>,  <i>y</i> = sin <i>bx</i>  и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число <i>c</i>, отличное от <i>a</i>, <i>b</i> и такое, что график функции  <i>y</i> = sin <i>cx</i>  проходит через все отмеченные точки.

Главная аудитория фирмы "Рога и копыта" представляет собой квадратный зал из восьми рядов по восемь мест. 64 сотрудника фирмы писали в этой аудитории тест, в котором было шесть вопросов с двумя вариантами ответа на каждый. Могло ли так оказаться, что среди наборов ответов сотрудников нет одинаковых, причем наборы ответов любых двух людей за соседними столами совпали не больше, чем в одном вопросе? (Столы называются соседними, если они стоят рядом в одном ряду или друг за другом в соседних рядах.)

В трапеции <i>ABCD</i> боковая сторона <i>CD</i> перпендикулярна основаниям, <i>O</i> – точка пересечения диагоналей. На описанной окружности треугольника <i>OCD</i> взята точка <i>S</i>, диаметрально противоположная точке <i>O</i>. Докажите, что  ∠<i>BSC</i> = ∠<i>ASD</i>.

На окружности отмечено 2<i>N</i> точек (<i>N</i> – натуральное число). Известно, что через любую точку внутри окружности проходит не более двух хорд с концами в отмеченных точках. Назовем <i>паросочетанием</i> такой набор из <i>N</i> хорд с концами в отмеченных точках, что каждая отмеченная точка является концом ровно одной из этих хорд. Назовём паросочетание <i>чётным</i>, если количество точек, в которых пересекаются его хорды, чётно, и <i>нечётным</i> иначе. Найдите разность между количеством чётных и нечётных паросочетаний.

Дан квадрат <i>n</i>×<i>n</i>. Изначально его клетки раскрашены в белый и чёрный цвета в шахматном порядке, причём хотя бы одна из угловых клеток чёрная. За один ход разрешается в некотором квадрате 2×2 одновременно перекрасить входящие в него четыре клетки по следующему правилу: каждую белую перекрасить в чёрный цвет, каждую чёрную – в зелёный, а каждую зелёную – в белый. При каких <i>n</i> за несколько ходов можно получить шахматную раскраску, в которой чёрный и белый цвета поменялись местами?

Целые числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что при любых натуральных <i>m</i> и <i>n</i> число  <i>am</i>² + <i>bn</i>²  является точным квадратом. Докажите, что  <i>ab</i> = 0.