Олимпиадные задачи по математике - сложность 3-5 с решениями

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ выбраны на сторонах <i>BC</i>, <i>CA</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> соответственно. Оказалось, что  <i>AB</i>₁ – <i>AC</i>₁ = <i>CA</i>₁ – <i>CB</i>₁ = <i>BC</i>₁ – <i>BA</i>₁.  Пусть <i>I_A, I_B</i> и <i>I_C</i> – центры окружностей, вписанных в треугольники <i>AB</i><sub>1</su...

Положительные действительные числа    <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i>  и <i>k</i> таковы, что  <i>a</i>₁ + ... + <i>a_n</i> = 3<i>k</i>,   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116758/problem_116758_img_2.gif">   и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116758/problem_116758_img_3.gif"> .

Докажите, что какие-то два из чисел  <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i>  отличаются больше чем на 1.

Дан параллелограмм <i>ABCD</i> с тупым углом <i>A</i>. Точка <i>H</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>A</i> на <i>BC</i>. Продолжение медианы <i>CM</i> треугольника <i>ABC</i> пересекает описанную около него окружность в точке <i>K</i>. Докажите, что точки <i>K</i>, <i>H</i>, <i>C</i> и <i>D</i> лежат на одной окружности.

На окружности отмечены 2012 точек, делящих её на равные дуги. Из них выбрали <i>k</i> точек и построили выпуклый <i>k</i>-угольник с вершинами

в выбранных точках. При каком наибольшем <i>k</i> могло оказаться, что у этого многоугольника нет параллельных сторон?

Касательные, проведённые к описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>C</i>, пересекаются в точке <i>Z. AA</i>₁, <i>CC</i>₁ – высоты. Прямая <i>A</i>₁<i>C</i>₁ пересекает прямые <i>ZA, ZC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>ABC</i> и <i>XYZ</i> касаются.

Внутри окружности с центром <i>O</i> отмечены точки <i>A</i> и <i>B</i> так, что  <i>OA = OB</i>.

Постройте на окружности точку <i>M</i>, для которой сумма расстояний до точек <i>A</i> и <i>B</i> наименьшая среди всех возможных.

Внутри выпуклого многогранника выбрана точка <i>P</i> и несколько прямых  <i>l</i>₁, ..., <i>l_n</i>,  проходящих через <i>P</i> и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых  <i>l</i>₁, ..., <i>l_n</i>,  которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.

<i>H</i> – точка пересечения высот <i>AA'</i> и <i>BB'</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Прямая, перпендикулярная <i>AB</i>, пересекает эти высоты в точках <i>D</i> и <i>E</i>, а сторону <i>AB</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>DEH</i> лежит на отрезке <i>CP</i>.

В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i>:  ∠<i>A</i> = ∠<i>C</i> = 90°,  <i>AB = AE</i>,  <i>BC = CD</i>,  <i>AC</i> = 1.  Найдите площадь пятиугольника.

Восстановите треугольник с помощью циркуля и линейки по точке пересечения высот и основаниям медианы и биссектрисы, проведённых к одной из сторон.

Дана окружность и хорда <i>AB</i>, отличная от диаметра. По большей дуге <i>AB</i> движется точка <i>C</i>. Окружность, проходящая через точки <i>A</i>, <i>C</i> и точку <i>H</i> пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, повторно пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>P</i>. Докажите, что прямая <i>PH</i> проходит через фиксированную точку, не зависящую от положения точки <i>C</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>I</i> – центр вписанной окружности, точки <i>I_A</i>, <i>I_C</i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>II_AI_C</i>. Докажите, что  <i>OI</i> ⊥ <i>AC</i>.

Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, проходящая через его центр. Точки пересечения этой прямой со сторонами <i>AB</i> и <i>BC</i> отразили относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через получившиеся точки, касается вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

У Кости была кучка из 100 камешков. Каждым ходом он делил какую-то из кучек на две меньших, пока у него в итоге не оказалось

100 кучек по одному камешку. Докажите, что

  а) в какой-то момент в каких-то 30 кучках было в сумме ровно 60 камешков;

  б) в какой-то момент в каких-то 20 кучках было в сумме ровно 60 камешков;

  в) Костя мог действовать так, чтобы ни в какой момент не нашлось 19 кучек, в которых в сумме ровно 60 камешков.

а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь <i>n</i>-го прямоугольника равна <i>n</i>². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа <i>N</i> найдутся квадраты суммарной площади больше <i>N</i>?

Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.

Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116727/problem_116727_img_2.gif"> .

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> существуют такие целые числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>,  что при всех целых <i>x</i> число

(...((<i>x</i>² + <i>a</i>₁)² + <i>a</i>₂)² + ... + <i>a</i>_<i>n</i>–1)² + <i>a_n</i>   делится на  2<i>n</i> – 1.

Внутри круга отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Докажите, что их можно разбить на пары и провести прямую через каждую пару так, чтобы все точки пересечения прямых были в круге.

В равностороннем треугольнике <i>ABC</i> провели высоту <i>AH</i>. В треугольнике <i>ABH</i> отметили точку <i>I</i> пересечения биссектрис. В треугольниках <i>ABI, BCI</i> и <i>CAI</i> тоже отметили точки пересечения биссектрис – <i>L, K</i> и <i>J</i> соответственно. Найдите угол <i>KJL</i>.

Банк обслуживает миллион клиентов, список которых известен Остапу Бендеру. У каждого есть свой PIN-код из шести цифр, у разных клиентов коды разные. Остап Бендер за один ход может выбрать любого клиента, которого он еще не выбирал, и подсмотреть у него цифры кода на любых <i>N</i> позициях (у разных клиентов он может выбирать разные позиции). Остап хочет узнать код миллионера Корейко. При каком наименьшем <i>N</i> он гарантированно сможет это сделать?

Пусть <i>p</i> – простое число. Набор из  <i>p</i> + 2  натуральных чисел (не обязательно различных) назовём <i>интересным</i>, если сумма любых <i>p</i> из них делится на каждое из двух оставшихся чисел. Найдите все интересные наборы.

В команде сторожей у каждого есть разряд (натуральное число). Сторож <i>N</i>-го разряда <i>N</i> суток дежурит, потом <i>N</i> суток спит, снова <i>N</i> суток дежурит, <i>N</i> – спит, и так далее. Известно, что разряды любых двух сторожей различаются хотя бы в три раза. Может ли такая команда осуществлять ежедневное дежурство? (Приступить к дежурству сторожа могут не одновременно, в один день могут дежурить несколько сторожей.)

Белая ладья стоит на поле b2 шахматной доски 8×8, а чёрная – на поле c4. Игроки ходят по очереди, каждый – своей ладьей, начинают белые. Запрещается ставить свою ладью под бой другой ладьи, а также на поле, где уже побывала какая-нибудь ладья. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Кто из игроков может обеспечить себе победу, как бы ни играл другой? (За ход ладья сдвигается по горизонтали или вертикали на любое число клеток, и считается, что она побывала только в начальной и конечной клетках этого хода.)

У Носорога на шкуре есть вертикальные и горизонтальные складки. Всего складок 17. Если Носорог чешется боком о дерево, то либо две горизонтальные, либо две вертикальные складки на этом боку пропадают, зато на другом боку прибавляются две складки: горизонтальная и вертикальная. (Если двух складок одного направления нет, то ничего не происходит.) Носорог почесался несколько раз. Могло ли случиться, что на каждом боку вертикальных складок стало столько, сколько там раньше было горизонтальных, а горизонтальных стало столько, сколько там было вертикальных?

Обозначим через  <i>S</i>(<i>n</i>, <i>k</i>)  количество не делящихся на <i>k</i> коэффициентов разложения многочлена  (<i>x</i> + 1)<i>ⁿ</i>  по степеням <i>x</i>.

  а) Найдите  <i>S</i>(2012, 3).

  б) Докажите, что  <i>S</i>(2012²⁰¹¹, 2011)  делится на 2012.