Задача № 121991
Сто человек сидят за круглым столом, причём более половины из них – мужчины. Докажите, что какие-то два мужчины сидят друг напротив друга.
Олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 121990
В клетках таблицы 3×3 расставлены числа –1, 0, 1. Докажите, что какие-то две из восьми сумм по всем строкам, всем столбцам и двум главным диагоналям будут равны.
Задача № 121989
Докажите, что существует степень тройки, оканчивающаяся на 001.
Задача № 121988
Докажите, что среди чисел, записываемых только единицами, есть число, которое делится на 1987.
Задача № 121987
Докажите, что из 52 целых чисел всегда найдутся два, разность квадратов которых делится на 100.
Задача № 121986
Докажите, что среди степеней двойки есть две, разность которых делится на 1987.
Задача № 121985
В бригаде 7 человек и их суммарный возраст - 332 года. Докажите, что из них можно выбрать трех человек, сумма возрастов которых не меньше 142 лет.
Задача № 121984
Пятеро молодых рабочих получили на всех зарплату - 1500 рублей. Каждый из них хочет купить себе магнитофон ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них придется подождать с покупкой до следующей зарплаты.
Задача № 121983
В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см.
Задача № 121982
Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.
Задача № 121981
Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматной доске так, чтобы никакие два из них не били друг друга?
Задача № 121980
10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.
Задача № 121979
а) Какое наибольшее число полей на доске 8×8 можно закрасить в чёрный цвет так, чтобы в каждом уголке из трёх полей было по крайней мере одно незакрашенное поле? б) Какое наименьшее число полей на доске 8×8 можно закрасить в чёрный цвет так, чтобы в каждом уголке из трёх полей было по крайней мере одно чёрное поле?
Задача № 121978
Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.
Задача № 121977
Докажите, что в любой компании из пяти человек есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.
Задача № 121976
Дано 8 различных натуральных чисел, не больших 15. Докажите, что среди их положительных попарных разностей есть три одинаковых.
Задача № 121975
В стране Курляндииmфутбольных команд (по 11 футболистов в каждой). Все футболисты собрались в аэропорту для поездки в другую страну на ответственный матч. Самолет сделал 10 рейсов, перевозя каждый раз поmпассажиров. Еще один футболист прилетел к месту предстоящего матча на вертолете. Докажите, что хотя бы одна команда была целиком доставлена в другую страну.
Задача № 121974
В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.
Задача № 121973
В городе Ленинграде живет более 5 миллионов человек. Докажите, что у каких-то двух из них одинаковое число волос на голове, если известно, что у любого человека на голове менее миллиона волос.
Задача № 121972
Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.
Задача № 121971
В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок.
Задача № 121970
В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?
23226–23247 из 23247