Задача № 130381
a, b, c – целые числа, причём a + b + c делится на 6. Докажите, что a³ + b³ + c³ тоже делится на 6.
Олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 130380
a и b – натуральные числа, причём число a² + b² делится на 21. Докажите, что оно делится и на 441.
Задача № 130379
Натуральные числа x, y, z таковы, что x² + y² = z². Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.
Задача № 130378
а) Докажите, что p² – 1 делится на 24, если p – простое число и p > 3. б) Докажите, что p² – q² делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.
Задача № 130377
Докажите, что n³ – n делится на 24 при любом нечётном n.
Задача № 130376
Докажите, что n³ + 2 не делится на 9 ни при каком натуральном n.
Задача № 130375
Докажите, что n² + 1 не делится на 3 ни при каком натуральном n.
Задача № 130374
Докажите, что n5 + 4n делится на 5 при любом натуральном n.
Задача № 130373
Докажите, что n³ + 2n делится на 3 для любого натурального n.
Задача № 130372
Найдите остатки от деления а) 1989·1990·1991 + 19922 на 7; б) 9100 на 8.
Задача № 130371
Докажите, что для любых натуральных чисел a и b верно равенство НОД(a, b)НОК(a, b) = ab.
Задача № 130370
Решите в целых числах уравнение: x³ + x² + x – 3 = 0.
Задача № 130369
Решите в натуральных числах уравнение: а) x² – y² = 31; б) x² – y² = 303.
Задача № 130368
Целые числа a и b таковы, что 56a = 65b. Докажите, что   a + b – составное число.
Задача № 130367
Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?
Задача № 130366
Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нем все цифры на буквы, причём одинаковые цифры – на одинаковые буквы, а разные – на разные. В итоге у него получилось АБ×ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что он где-то ошибся.
Задача № 130365
Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, является точным квадратом.
Задача № 130364
На сколько нулей оканчивается число 100!?
Задача № 130363
Может ли n! оканчиваться ровно на пять нулей?
Задача № 130360
Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится а) на 30; б) на 120.
Задача № 130359
Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.
Задача № 130358
Пусть p и q – различные простые числа. Сколько делителей у числа а) pq; б) p²q; в) p²q²; г) pmqn?
Задача № 130356
Сколькими способами можно разбить 14 человек на пары?
Задача № 130355
Кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестёрка. Сколько их?
Задача № 130352
Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трёх букв Б?
23126–23150 из 23247