Задача № 130406
Докажите, что сумма n последовательных нечётных натуральных чисел при n > 1 является составным числом.
Олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 130405
Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из данных чисел делится на 5.
Задача № 130404
Найдите последнюю цифру числа 1² + 2² + ... + 99².
Задача № 130403
а) a + 1 делится на 3. Докажите, что 4 + 7a делится на 3.б) 2 + a и 35 – b делятся на 11. Докажите, что a + b делится на 11.
Задача № 130402
x, y, z – натуральные числа, причём x² + y² = z². Докажите, что xy делится на 12.
Задача № 130401
Докажите, что число 6n³ + 3 не является шестой степенью целого числа ни при каком натуральном n.
Задача № 130400
Докажите, что a³ + b³ + 4 не является кубом целого числа ни при каких натуральных a и b.
Задача № 130399
Докажите, что число 10...050...01 (в каждой из двух групп по 100 нулей) не является кубом целого числа.
Задача № 130398
p, 4p² + 1 и 6p² + 1 – простые числа. Найдите p.
Задача № 130397
Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является точным квадратом.
Задача № 130396
а) Может ли сумма квадратов двух нечётных чисел быть квадратом целого числа? б) Может ли сумма квадратов трёх нечётных чисел быть квадратом целого числа?
Задача № 130395
Докажите, что не существует таких натуральных чисел a и b, что a² – 3b² = 8.
Задача № 130394
p и p² + 2 – простые числа. Докажите, что p² + 2 – также простое число.
Задача № 130393
p и 8p2 + 1 – простые числа. Найдите p.
Задача № 130392
а) p, p + 10, p + 14 – простые числа. Найдите p.б) p, 2p + 1, 4p + 1 – простые числа. Найдите p.
Задача № 130391
Найдите последнюю цифру числа 777.
Задача № 130390
Докажите, что 22225555 + 55552222 делится на 7.
Задача № 130389
Найдите остаток от деления 31989 на 7.
Задача № 130388
Найдите остаток от деления 2100 на 3.
Задача № 130387
На какую цифру оканчивается число 777777?
Задача № 130386
Найдите последнюю цифру числа 250.
Задача № 130385
Найдите последнюю цифру числа 19891989.
Задача № 130384
Сумма трёх натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.
Задача № 130383
Докажите, что сумма квадратов трёх натуральных чисел, уменьшенная на 7, не делится на 8.
Задача № 130382
Три простых числа p, q и r, большие 3, образуют арифметическую прогрессию: q = p + d, r = p + 2d. Докажите, что d делится на 6.
23101–23125 из 23247