Задача № 130432
а) Дан кусок проволоки длиной 120 см. Можно ли, не ломая проволоки, изготовить каркас куба с ребром 10 см? б) Какое наименьшее число раз придется ломать проволоку, чтобы всё же изготовить требуемый каркас?
Олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 130431
Имеется группа островов, соединённых мостами так, что от каждого острова можно добраться до любого другого. Турист обошёл все острова, пройдя по каждому мосту ровно один раз. На острове Троекратном он побывал трижды. Сколько мостов ведёт с Троекратного, если турист а) не с него начал и не на нём закончил? б) с него начал, но не на нём закончил? в) с него начал и на нём закончил?
Задача № 130430
В стране из каждого города выходит 100 дорог и от каждого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт. Докажите, что и теперь от каждого города можно добраться до любого другого.
Задача № 130429
В Тридевятом царстве лишь один вид транспорта – ковер-самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний – одна, а из всех остальных городов – по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в Дальний (возможно, с пересадками).
Задача № 130428
Докажите, что граф с n вершинами, степень каждой из которых не менее n–1/2, связен.
Задача № 130427
В стране Семёрка 15 городов, каждый из которых соединён дорогами не менее, чем с семью другими. Докажите, что из каждого города можно добраться до любого другого (возможно, проезжая через другие города).
Задача № 130426
Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?
Задача № 130425
Докажите, что число людей, когда-либо живших на Земле и сделавших нечётное число рукопожатий, чётно.
Задача № 130424
Джон, приехав из Диснейленда, рассказывал, что там на заколдованном озере имеются семь островов, с каждого из которых ведет один, три или пять мостов. Верно ли, что хотя бы один из этих мостов обязательно выходит на берег озера?
Задача № 130423
Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит три дороги, быть ровно 100 дорог?
Задача № 130422
У короля 19 баронов-вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассального баронства одно, пять или девять соседних баронств?
Задача № 130421
В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было четыре телефона, каждый из которых соединен с тремя другими, восемь телефонов, каждый из которых соединен с шестью, и три телефона, каждый из которых соединен с пятью другими?
Задача № 130420
В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга (в этом классе), 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей?
Задача № 130419
В государстве 100 городов, и из каждого из них выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве?
Задача № 130418
В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединён ровно с пятью другими?
Задача № 130417
В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр-названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9?
Задача № 130416
Доска имеет форму креста, который получается, если из квадратной доски 4×4 выкинуть угловые клетки. Можно ли обойти её ходом шахматного коня и вернуться на исходное поле, побывав на всех полях ровно по разу?
Задача № 130415
Между девятью планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий, Плутон – Венера, Земля – Плутон, Плутон – Меркурий, Меркурий – Венера, Уран – Нептун, Нептун – Сатурн, Сатурн – Юпитер, Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?
Задача № 130414
Найдите НОД(111...111, 11...11) – в записи первого числа 100 единиц, в записи второго – 60.
Задача № 130413
Найдите НОД(2100 – 1, 2120 – 1).
Задача № 130412
Докажите, что дробь несократима ни при каком натуральном n.
Задача № 130411
Найти наибольший общий делитель чисел 2n + 13 и n + 7.
Задача № 130410
Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.
Задача № 130409
Докажите, что существует такое натуральное n, что числа n + 1, n + 2, ..., n + 1989 – составные.
Задача № 130407
Найдите наименьшее число, дающее следующие остатки: 1 – при делении на 2, 2 – при делении на 3, 3 – при делении на 4, 4 – при делении на 5, 5 – при делении на 6.
23076–23100 из 23247