Задача № 130708
Человек имеет 10 друзей и в течение нескольких днейприглашает некоторых из них в гости так, что компания ни разу не повторяется (в какой-то из дней он может не приглашать никого). Сколько дней он может так делать?
Олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 130707
Как известно, для участия в лотерее "Спортлото" нужно указать шесть номеров из имеющихся на карточке 45 номеров. а) Сколькими способами можно заполнить карточку "Спортлото"? б) После тиража организаторы лотереи решили подсчитать, каково число возможных вариантов заполнения карточки, при которых могло быть угадано ровно три номера. Помогите им в этом подсчёте.
Задача № 130706
Человек имеет шесть друзей и в течение пяти дней приглашаетк себе в гости каких-то троих из них так, чтобы компания ни разу не повторялась. Сколькими способами он может это сделать?
Задача № 130705
Сколько существует десятизначных чисел, сумма цифр которых равна а) 2; б) 3; в) 4?
Задача № 130704
Сколько существует шестизначных чисел, у которых по три чётных и нечётных цифры?
Задача № 130703
Сколькими способами можно выбрать из полной колоды (52 карты) 10 карт так, чтобы а) среди них был ровно один туз? б) среди них был хотя бы один туз?
Задача № 130702
а) Сколькими способами можно разбить 15 человек на три команды по пять человек в каждой? б) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек две команды по пять человек в каждой?
Задача № 130701
Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 чёрных шашек на чёрных полях шахматной доски?
Задача № 130700
Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из пяти человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более трёх юношей?
Задача № 130699
Сколькими способами можно переставить буквы слова "ЭПИГРАФ" так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке?
Задача № 130698
В классе, в котором учатся Петя и Ваня – 31 человек. Сколькими способами можно выбрать из класса футбольную команду (11 человек) так, чтобы Петя и Ваня не входили в команду одновременно?
Задача № 130697
Сколькими способами можно составить комиссию из трёхчеловек, выбирая её членов из четырёх супружеских пар, но так, чтобы члены одной семьи не входили в комиссию одновременно?
Задача № 130696
Сколькими способами можно выбрать из 15 различных слов набор, состоящий не более чем из пяти слов?
Задача № 130695
На прямой отмечено 10 точек, а на параллельной ей прямой – 11 точек. Сколько существует а) треугольников; б) четырёхугольников с вершинами в этих точках?
Задача № 130694
Рота состоит из трёх офицеров, шести сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из офицера, двух сержантов и 20 рядовых?
Задача № 130693
На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
Задача № 130692
Сколькими способами можно разбить 10 человек на две баскетбольные команды по 5 человек в каждой?
Задача № 130691
В шахматном кружке занимаются 2 девочки и 7 мальчиков. Для участия в соревновании необходимо составить команду из четырёх человек, в которую обязательно должна входить хотя бы одна девочка. Сколькими способами это можно сделать?
Задача № 130690
У одного школьника есть 6 книг по математике, а у другого – 8. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?
Задача № 130689
Сколькими способами можно выбрать 4 краски из имеющихся 7 различных?
Задача № 130687
а) Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих школьников для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать? б) Сколькими способами можно выбрать команду из трех школьников в том же классе?
Задача № 130685
а) Пусть p – простое число, отличное от 3. Докажите, что число 1...1 (p единиц) не делится на p. б) Пусть p > 5 – простое число. Докажите, что число 1...1 (p – 1 единица) делится на p.
Задача № 130682
Пусть p – простое число, и a не делится на p. Докажите, что найдется натуральное число b, для которого ab ≡ 1 (mod p).
Задача № 130681
Пусть p и q – различные простые числа. Докажите, что а) pq + qp ≡ p + q (mod pq); б) – чётное число, если p, q ≠ 2.
Задача № 130680
Сумма трёх чисел a, b и c делится на 30. Докажите, что a5 + b5 + c5 также делится на 30.
22926–22950 из 23247