Задача № 130741
а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться). б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7.
Олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 130740
Труппа театра состоит из 20 артистов. Сколькими способами можно выбрать из неё в течение двух вечеров по шестьчеловек для участия в спектаклях так, чтобы ни один артист не участвовал в двух спектаклях?
Задача № 130738
Сколько различных четырёхзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4, а) если каждая цифра может встречаться только один раз? б) если каждая цифра может встречаться несколько раз?
Задача № 130737
Сколькими способами можно построить замкнутую ломаную, вершинами которой являются вершины правильного шестиугольника (ломаная может быть самопересекающейся)?
Задача № 130735
а) Спортивный клуб насчитывает 30 членов, из которых надо выделить четыре человека для участия в забеге на 1000 метров. Сколькими способами это можно сделать? б) Сколькими способами можно составить команду из четырёх человек для участия в эстафете 100 м + 200 м + 300 м + 400 м?
Задача № 130734
Сколько ожерелий можно составить из пяти одинаковых красных бусинок и двух одинаковых синих бусинок?
Задача № 130733
На полке стоит 12 книг. Сколькими способами можно выбрать из них пять книг, никакие две из которых не стоят рядом?
Задача № 130732
Сколькими способами можно представить 1000000 в виде произведения трёх множителей, если произведения, отличающиеся порядком множителей, а) считаются различными? б) считаются тождественными?
Задача № 130731
Сколькими способами можно выложить в ряд пять красных, пять синих и пять зелёных шаров так, чтобы никакие два синих шара не лежали рядом?
Задача № 130730
Общество из n членов выбирает из своего состава одного представителя. а) Сколькими способами может произойти открытое голосование, если каждый голосует за одного человека (быть может, и за себя)? б) Решите ту же задачу, если голосование – тайное, то есть учитывается лишь число голосов, поданных за каждого кандидата, и не учитывается, кто за кого голосовал персонально.
Задача № 130729
Сколькими способами четыре чёрных шара, четыре белых шара и четыре синих шара можно разложить в шесть различных ящиков?
Задача № 130728
Сколькими способами три человека могут разделить между собой шесть одинаковых яблок, один апельсин, одну сливу и один мандарин?
Задача № 130727
Сколькими способами можно расположить в девяти лузах семь белых и два чёрных шара? Часть луз может быть пустой, а лузы считаются различными.
Задача № 130725
Поезду, в котором находится m пассажиров, предстоит сделать n остановок. а) Сколькими способами могут выйти пассажиры на этих остановках? б) Решите ту же задачу, если учитывается лишь количество пассажиров, вышедших на каждой остановке.
Задача № 130724
В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить в нём а) 12 открыток; б) 8 открыток; в) 8 различных открыток?
Задача № 130723
30 человек голосуют по пяти предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует только за одно предложение и учитывается лишь количество голосов, поданных за каждое предложение?
Задача № 130722
Сколькими способами можно разрезать ожерелье, состоящее из 30 различных бусин на 8 частей (резать можно только между бусинами)?
Задача № 130721
Переплетчик должен переплести 12 одинаковых книг в красный, зелёный или синий переплеты. Сколькими способами он может это сделать?
Задача № 130719
Сколькими способами натуральное число n можно представить в виде суммы а) k натуральных слагаемых? б) k неотрицательных целых слагаемых? (Представления, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными.)
Задача № 130717
Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров а) так, чтобы ни один ящик не оказался пустым? б) если некоторые ящики могут оказаться пустыми)?
Задача № 130715
Докажите, что каждое число a в треугольнике Паскаля, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный теми правой и левой диагоналями, на пересечении которых стоит число a (сами эти диагонали в рассматриваемый параллелограмм не включаются).
Задача № 130713
Докажите, что каждое число a в треугольнике Паскаля равно а) сумме чисел предыдущей правой диагонали, начиная с самого левого вплоть до стоящего справа над числом a. б) сумме чисел предыдущей левой диагонали, начиная с самого правого вплоть до стоящего слева над числом a.
Задача № 130712
Докажите, что
Задача № 130711
Докажите, что из n предметов чётное число предметов можно выбрать 2n–1 способами.
Задача № 130710
План города имеет схему, изображенную на рисунке. На всех улицах введено одностороннее движение: можно ехать только "вправо" или "вверх". Сколько есть разных маршрутов, ведущих из точки A в точку B.
22901–22925 из 23247