Задача № 216967
Решите ребус: ЛЕТО + ЛЕС = 2011.
Олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216966
Лиса Алиса и кот Базилио вырастили на дереве 20 фальшивых купюр и теперь вписывают в них семизначные номера. На каждой купюре есть 7 пустых клеток для цифр. Базилио называет по одной цифре "1" или "2" (других он не знает), а Алиса вписывает названную цифру в любую свободную клетку любой купюры и показывает результат Базилио. Когда все клетки заполнены, Базилио берет себе как можно больше купюр с разными номерами (из нескольких с одинаковым номером он берет лишь одну), а остаток забирает Алиса. Какое наибольшее количество купюр может получить Базилио, как бы ни действовала Алиса?
Задача № 216965
Три квадратные дорожки с общим центром отстоят друг от друга на 1 м (см. рис.). Три муравья стартуют одновременно из левых нижних углов дорожек и бегут с одинаковой скоростью: Му и Ра против часовой стрелки, а Вей по часовой. Когда Му добежал до правого нижнего угла большой дорожки, двое других, не успев ещё сделать полного круга, находились на правых сторонах своих дорожек, и все трое оказались на одной прямой. Найдите стороны квадратов.
Задача № 216964
Дима увидел в музее странные часы (см. рисунок). Они отличаются от обычных часов тем, что на их циферблате нет цифр и вообще непонятно, где у часов верх; да ещё секундная, минутная и часовая стрелки имеют одинаковую длину. Какое время показывали часы? (Стрелки А и Б на рисунке смотрят ровно на часовые отметки, а стрелка В чуть-чуть не дошла до часовой отметки.)
Задача № 216963
Вокруг стола пустили пакет с семечками. Первый взял 1 семечку, второй – 2, третий – 3 и так далее: каждый следующий брал на одну семечку больше. Известно, что на втором круге было взято в сумме на 100 семечек больше, чем на первом. Сколько человек сидело за столом?
Задача № 216962
В квадрате закрашена часть клеток, как показано на рисунке. Разрешается перегнуть квадрат по любой линии сетки, а затем разогнуть обратно. Клетки, которые при перегибании совмещаются с закрашенными, тоже закрашиваются. Можно ли закрасить весь квадрат: а) за 5 или менее; б) за 4 или менее; в) за 3 или менее таких перегибания?
Задача № 216960
Тридцать три богатыря нанялись охранять Лукоморье за 240 монет. Хитрый дядька Черномор может разделить богатырей на отряды произвольной численности (или записать всех в один отряд), а затем распределить всё жалованье между отрядами. Каждый отряд делит свои монеты поровну, а остаток отдаёт Черномору. Какое наибольшее количество монет может достаться Черномору, если: а) жалованье между отрядами Черномор распределяет как ему угодно; б) жалованье между отрядами Черномор распределяет поровну?
Задача № 216959
Малый и Большой острова имеют прямоугольную форму и разделены на прямоугольные графства. В каждом графстве проложена дорога по одной из диагоналей. На каждом острове эти дороги образуют замкнутый путь, который ни через какую точку не проходит дважды. Вот как устроен Малый остров, где всего шесть графств (см. рис.). Нарисуйте, как может быть устроен Большой остров, если на нём нечётное число графств. Сколько графств у вас получилось?
Задача № 216958
13 детей сели за круглый стол и договорились, что мальчики будут врать девочкам, а друг другу говорить правду, а девочки, наоборот, будут врать мальчикам, а друг другу говорить правду. Один из детей сказал своему правому соседу: "Большинство из нас мальчики". Тот сказал своему правому соседу: "Большинство из нас девочки", а он своему соседу справа: "Большинство из нас мальчики", а тот своему: "Большинство из нас девочки" и так далее, пока последний ребёнок не сказал первому: "Большинство из нас мальчики". Сколько мальчиков было за столом?
Задача № 216957
Пёс и кот одновременно схватили зубами батон колбасы с разных сторон. Если пёс откусит свой кусок и убежит, коту достанется на 300 г больше, чем псу. Если кот откусит свой кусок и убежит, псу достанется на 500 г больше, чем коту. Сколько колбасы останется, если оба откусят свои куски и убегут?
Задача № 216956
Вот ребус довольно простой: ЭХ вчетверо больше, чем ОЙ. АЙ вчетверо больше, чем ОХ. Найди сумму всех четырёх.
Задача № 216955
Вася умножил некоторое число на 10 и получил простое число. А Петя умножил то же самое число на 15, но всё равно получил простое число. Может ли быть так, что никто из них не ошибся?
Задача № 216954
Фигура мамонт бьёт как слон (по диагоналям), но только в трёх направлениях из четырёх (отсутствующее направление может быть разным для разных мамонтов). Какое наибольшее число не бьющих друг друга мамонтов можно расставить на шахматной доске 8×8?
Задача № 216953
Найдите все такие натуральные k, что при каждом нечётном n > 100 число 20n + 13n делится на k.
Задача № 216952
Три попарно непересекающиеся окружности ωx, ωy, ωz радиусов rx, ry, rz лежат по одну сторону от прямой t и касаются её в точках X, Y, Z соответственно. Известно, что Y – середина отрезка XZ, rx = rz = r, а ry > r. Пусть p – одна из общих внутренних касательных к окружностям ωx и ωy, а q – одна из общих внутренних касательных к окружностям ωy и ωz. В пересечении прямых p, q, t образовался неравнобедренный треугольник. Докажите, что радиус его вписанной окружности равен r.
Задача № 216951
Существуют ли такие 2013 различных натуральных чисел, что сумма каждых 2012 из них не меньше квадрата оставшегося?
Задача № 216950
В окружность Ω вписан остроугольный треугольник ABC, в котором AB > BC. Пусть P и Q – середины меньшей и большей дуг AC окружности Ω, соответственно, а M – основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на отрезок AB. Докажите, что описанная окружность треугольника BMC делит пополам отрезок BP.
Задача № 216948
P(x) и Q(x) – приведённые квадратные трёхчлены, имеющие по два различных корня. Оказалось, что сумма двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена P(x) в трёхчлен Q(x), равна сумме двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена Q(x) в трёхчлен P(x). Докажите, что дискриминанты трёхчленов P(x) и Q(x) равны.
Задача № 216947
Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трёх чисел записали на доске, а затем всё, кроме трёх последних цифр этого произведения, стёрли. Какие три цифры могли остаться на доске?
Задача № 216946
На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, делящих её на равные дуги. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Назовём расстоянием между двумя точками длину меньшей дуги между ними. При каком наибольшем n можно переставить фишки так, чтобы снова в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между любыми двумя фишками, изначально удалёнными не более чем на n, увеличилось?
Задача № 216945
К двум непересекающимся окружностям ω1 и ω2 проведены три общие касательные – две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a, b и c касаются окружности ω1 в точках A1, B1 и C1 соответственно, а окружности ω2 – в точках A2, B2 и C2 соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A1B1C1 и A2B2C2 равно отношению радиусов окружностей ω1 и ω2.
Задача № 216944
Натуральные числа a, b и c, где c ≥ 2, таковы, что 1/a + 1/b = 1/c. Докажите, что хотя бы одно из чисел a + c, b + c – составное.
Задача № 216942
Можно ли множество всех натуральных чисел разбить на непересекающиеся конечные подмножества A1, A2, A3, ... так, чтобы при любом натуральном k сумма всех чисел, входящих в подмножество Ak, равнялась k + 2013?
Задача № 216941
Даны три квадратных трёхчлена P(x), Q(x) и R(x) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена R(x) в многочлен P(x) + Q(x) получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена P(x) в многочлен Q(x) + R(x) получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена Q(x) в многочлен P(x) + R(x) получаются равные значения. Докажите, что три числа: сумма корней трёхчлена P(x), сумма корней трёхчлена Q(x) и сумма корней трёхчлена R(x) равны между собой.
Задача № 216940
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую A1C1 в точках A' и C'. Касательные к Ω, проведённые в точках A' и C', пересекаются в точке B'. Докажите, что прямая BB' проходит через центр окружности Ω.
51–75 из 23247