Олимпиадные задачи по математике для 9-10 класса - сложность 1 с решениями
На доске записали 20 первых чисел натурального ряда. Когда одно из чисел стёрли, то оказалось, что среди оставшихся чисел одно является средним арифметическим всех остальных. Найдите все числа, которые могли быть стёрты.
Про углы треугольника <i>ABC</i> известно, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116493/problem_116493_img_2.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116493/problem_116493_img_3.gif"> . Найдите величину угла <i>C</i>.
Для игры в "Морской бой" на поле 8×8 клеток расставили 12 "двухпалубных" кораблей. Обязательно ли останется место для "трёхпалубного" корабля? ("Двухпалубный" корабль – прямоугольник 1×2, а "трёхпалубный" – 1×3. Корабли могут соприкасаться, но накладываться друг на друга не должны.)
На рисунке изображен график приведённого квадратного трёхчлена (ось ординат стёрлась, расстояние между соседними отмеченными точками
равно 1). Чему равен дискриминант этого трёхчлена? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116482/problem_116482_img_2.gif"></div>
После возвращения цирка с гастролей, знакомые расспрашивали дрессировщика Казимира Алмазова о пассажирах его автофургона.
– Тигры были?
– Да, причём их было в семь раз больше, чем не тигров.
– А обезьяны?
– Да, их было в семь раз меньше, чем не обезьян.
– А львы были?
Ответьте за Казимира Алмазова.
На столе белой стороной кверху лежали 100 карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая чёрная. Костя перевернул 50 карточек, затем Таня перевернула 60 карточек, а после этого Оля – 70 карточек. В результате все 100 карточек оказались лежащими чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевернуто трижды?
Вычислите: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116475/problem_116475_img_2.gif">
Известно, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116457/problem_116457_img_2.gif"> . Найдите значение выражения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116457/problem_116457_img_3.gif">.
Какие значения может принимать выражение (<i>x – y</i>)(<i>y – z</i>)(<i>z – x</i>), если известно, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116451/problem_116451_img_2.gif"> ?
Делится ли число 21<sup>10</sup> – 1 на 2200?
Окружность проходит через вершины <i>В</i> и <i>D</i> параллелограмма <i>АВСD</i> и пересекает его стороны <i>АВ, ВС, СD</i> и <i>DA</i> в точках <i>M, N, P</i> и <i>K</i> соответственно. Докажите, что <i>MK || NP</i>.
Найдите все натуральные решения уравнения 2<i>n</i> – <sup>1</sup>/<sub><i>n</i><sup>5</sup></sub> = 3 – <sup>2</sup>/<sub><i>n</i></sub>.
Какое наименьшее значение может принимать периметр неравнобедренного треугольника с целыми длинами сторон?
Верно ли, что если <i>b > a + c</i> > 0, то квадратное уравнение <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 имеет два корня?
Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана произвольная точка <i>Р</i> и проведены отрезки <i>РА</i>, <i>РВ</i>, <i>РС</i> и <i>PD</i>. Площади трёх из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3 (в каком-то порядке). Какие значения может принимать площадь четвёртого треугольника?
Решите неравенство: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116430/problem_116430_img_2.gif">
В шести корзинах лежат груши, сливы и яблоки. Число слив в каждой корзине равно числу яблок в остальных корзинах вместе взятых, а число яблок в каждой корзине равно числу груш в остальных корзинах вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>K</i> и <i>L</i> – на стороне <i>AB</i>, причём <i>AM</i> : <i>MN</i> : <i>NC</i> = 1 : 3 : 1 и <i><span lang="EN">AK = KL = LB</span></i>. Известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>KLNM</i>.
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>, а точка <i>K</i> – на стороне <i>AC</i>, причём <i>BM</i> : <i>MN</i> : <i>NC</i> = 1 : 1 : 2 и <i>CK</i> : <i>AK</i> = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>AMNK</i>.
Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах.
Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна <i>a</i>.
В 10 одинаковых кувшинов было разлито молоко – не обязательно поровну, но каждый оказался заполнен не более чем на 10%. За одну операцию можно выбрать кувшин и отлить из него любую часть поровну в остальные кувшины. Докажите, что не более чем за 10 таких операций можно добиться, чтобы во всех кувшинах молока стало поровну.
Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились 1 белый, 3 серых и 5 чёрных квадратов, причём одноцветные квадраты были бы равны, а разноцветные квадраты – не равны?
Докажите, что выпуклый <i>n</i>-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол <sup>360°</sup>/<sub><i>n</i></sub> вокруг некоторой точки.
Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?
Существует ли арифметическая прогрессия из 2011 натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на 8, меньше, чем количество чисел, делящихся на 9, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на 10?