Задача № 216999
Известно, что b = 20132013 + 2. Будут ли числа b³ + 1 и b² + 2 взаимно простыми?
Олимпиадные задачи по математике для 8-10 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216998
Точка А лежит на окружности верхнего основания прямого кругового цилиндра (см. рис.), В – наиболее удалённая от неё точка на окружности нижнего основания, С – произвольная точка окружности нижнего основания. Найдите АВ, если АС = 12, BC = 5.
Задача № 216997
Найдите наибольшее значение выражения х + у, если x ∈ [0, 3π/2], y ∈ [π, 2π].
Задача № 216996
Существуют ли 2013 таких различных натуральных чисел, что сумма каждых двух из них делится на их разность?
Задача № 216995
В треугольнике ABC угол B равен 60°. Точка D внутри треугольника такова, что ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC. Найдите наименьшее значение площади треугольника ABC, если BD = a.
Задача № 216994
Пусть x1, x2, ..., xn – некоторые числа, принадлежащие отрезку [0, 1]. Докажите, что на этом отрезке найдется такое число x, что 1/n (|x – x1| + |x – x2| + ... + |x – xn|) = ½.
Задача № 216993
Куб с ребром n составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких n это возможно?
Задача № 216992
В треугольнике АВС проведена биссектриса АА1. Докажите, что серединный перпендикуляр к АА1, перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А1, и прямая АО (О – центр описанной окружности) пересекаются в одной точке.
Задача № 216991
Найдите наибольшее значение выражения ab + bc + ac + abc, если a + b + c = 12 (a, b и с – неотрицательные числа).
Задача № 216990
Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек). Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?
Задача № 216989
Центр О окружности, описанной около четырёхугольника АВСD, лежит внутри него. Найдите площадь четырёхугольника, если ∠ВАО = ∠DAC, AC = m, BD = n.
Задача № 216988
Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Известно, что Р(1) = 2013, Р(2013) = 1, P(k) = k, где k – некоторое целое число. Найдите k.
Задача № 216987
Выдающемуся бразильскому футболисту Роналдиньо Гаушо исполнится X лет в X² году. А сколько лет ему исполнится в 2018 году, когда чемпионат мира пройдёт в России?
Задача № 216986
Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?
Задача № 216985
Известно, что tg α + tg β = p, ctg α + ctg β = q. Найдите tg(α + β).
Задача № 216966
Лиса Алиса и кот Базилио вырастили на дереве 20 фальшивых купюр и теперь вписывают в них семизначные номера. На каждой купюре есть 7 пустых клеток для цифр. Базилио называет по одной цифре "1" или "2" (других он не знает), а Алиса вписывает названную цифру в любую свободную клетку любой купюры и показывает результат Базилио. Когда все клетки заполнены, Базилио берет себе как можно больше купюр с разными номерами (из нескольких с одинаковым номером он берет лишь одну), а остаток забирает Алиса. Какое наибольшее количество купюр может получить Базилио, как бы ни действовала Алиса?
Задача № 216965
Три квадратные дорожки с общим центром отстоят друг от друга на 1 м (см. рис.). Три муравья стартуют одновременно из левых нижних углов дорожек и бегут с одинаковой скоростью: Му и Ра против часовой стрелки, а Вей по часовой. Когда Му добежал до правого нижнего угла большой дорожки, двое других, не успев ещё сделать полного круга, находились на правых сторонах своих дорожек, и все трое оказались на одной прямой. Найдите стороны квадратов.
Задача № 216964
Дима увидел в музее странные часы (см. рисунок). Они отличаются от обычных часов тем, что на их циферблате нет цифр и вообще непонятно, где у часов верх; да ещё секундная, минутная и часовая стрелки имеют одинаковую длину. Какое время показывали часы? (Стрелки А и Б на рисунке смотрят ровно на часовые отметки, а стрелка В чуть-чуть не дошла до часовой отметки.)
Задача № 216963
Вокруг стола пустили пакет с семечками. Первый взял 1 семечку, второй – 2, третий – 3 и так далее: каждый следующий брал на одну семечку больше. Известно, что на втором круге было взято в сумме на 100 семечек больше, чем на первом. Сколько человек сидело за столом?
Задача № 216962
В квадрате закрашена часть клеток, как показано на рисунке. Разрешается перегнуть квадрат по любой линии сетки, а затем разогнуть обратно. Клетки, которые при перегибании совмещаются с закрашенными, тоже закрашиваются. Можно ли закрасить весь квадрат: а) за 5 или менее; б) за 4 или менее; в) за 3 или менее таких перегибания?
Задача № 216954
Фигура мамонт бьёт как слон (по диагоналям), но только в трёх направлениях из четырёх (отсутствующее направление может быть разным для разных мамонтов). Какое наибольшее число не бьющих друг друга мамонтов можно расставить на шахматной доске 8×8?
Задача № 216953
Найдите все такие натуральные k, что при каждом нечётном n > 100 число 20n + 13n делится на k.
Задача № 216952
Три попарно непересекающиеся окружности ωx, ωy, ωz радиусов rx, ry, rz лежат по одну сторону от прямой t и касаются её в точках X, Y, Z соответственно. Известно, что Y – середина отрезка XZ, rx = rz = r, а ry > r. Пусть p – одна из общих внутренних касательных к окружностям ωx и ωy, а q – одна из общих внутренних касательных к окружностям ωy и ωz. В пересечении прямых p, q, t образовался неравнобедренный треугольник. Докажите, что радиус его вписанной окружности равен r.
Задача № 216951
Существуют ли такие 2013 различных натуральных чисел, что сумма каждых 2012 из них не меньше квадрата оставшегося?
Задача № 216950
В окружность Ω вписан остроугольный треугольник ABC, в котором AB > BC. Пусть P и Q – середины меньшей и большей дуг AC окружности Ω, соответственно, а M – основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на отрезок AB. Докажите, что описанная окружность треугольника BMC делит пополам отрезок BP.
1–25 из 18774