Олимпиадные задачи по математике для 8 класса
В трапеции <i>ABCD</i> стороны <i>AD</i> и <i>BC</i> параллельны, и <i>AB = BC = BD</i>. Высота <i>BK</i> пересекает диагональ <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Найдите ∠<i>CDM</i>.
Натуральные числа <i>а, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что <i>ab = cd</i>. Может ли число <i>a + b + c + d</i> оказаться простым?
На стороне <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечены точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что <i>BK = KL = LC</i>, а на стороне <i>АС</i> отмечена точка <i>М</i> так,
что <i>АМ</i> = ⅓ <i>AC</i>. Найдите сумму углов <i>AKM</i> и <i>ALM</i>.
Для чисел <i>а, b</i> и <i>с</i>, отличных от нуля, выполняется равенство: <i>a</i>²(<i>b + c – a</i>) = <i>b</i>²(<i>c + a – b</i>) = <i>c</i>²(<i>a + b – c</i>). Следует ли из этого, что <i>а = b = c</i>?
В коробке лежат 2011 белых и 2012 чёрных шаров. Наугад вытаскиваются два шара. Если они одного цвета, то их выкидывают и кладут в коробку чёрный шар. Если они разного цвета, то выкидывают чёрный, а белый кладут обратно. Процесс продолжается до тех пор, пока в коробке не останется один шар. Какого он цвета?
В прямоугольнике <i>АВСD</i> точка <i>Р</i> – середина стороны <i>АВ</i>, а точка <i>Q</i> – основание перпендикуляра, опушенного из вершины <i>С</i> на <i>PD</i>.
Докажите, что <i>BQ = BC</i>.
Петя ехал из Петрова в Николаево, а Коля – наоборот. Они встретились, когда Петя проехал 10 км и еще четверть оставшегося ему до Николаева пути, а Коля проехал 20 км и треть оставшегося ему до Петрова пути. Какое расстояние между Петрово и Николаево?
Является ли простым число 2011·2111 + 2500?
Разрежьте квадрат 4×4 по линиям сетки на 9 прямоугольников так, чтобы равные прямоугольники не соприкасались ни сторонами, ни вершинами.
На рисунке изображен график функции <i>у = kx + b</i> . Сравните |<i>k</i>| и |<i>b</i>|. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116734/problem_116734_img_2.gif"></div>
Шахматист сыграл в турнире 20 партий и набрал 12,5 очков. На сколько партий больше он выиграл, чем проиграл?
У двух равнобедренных треугольников равны основания и радиусы описанных окружностей. Обязательно ли эти треугольники равны?
Существуют ли два одночлена, произведение которых равно –12<i>а</i><sup>4</sup><i>b</i>², а сумма является одночленом с коэффициентом 1?
У Носорога на шкуре есть вертикальные и горизонтальные складки. Всего складок 17. Если Носорог чешется боком о дерево, то либо две горизонтальные, либо две вертикальные складки на этом боку пропадают, зато на другом боку прибавляются две складки: горизонтальная и вертикальная. (Если двух складок одного направления нет, то ничего не происходит.) Носорог почесался несколько раз. Могло ли случиться, что на каждом боку вертикальных складок стало столько, сколько там раньше было горизонтальных, а горизонтальных стало столько, сколько там было вертикальных?
В выражении 10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 расставили скобки так, что в результате вычислений получилось целое число. Каким
а) наибольшим; б) наименьшим может быть это число?
Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Вписанные окружности треугольников <i>ABC</i> и <i>ADC</i> касаются диагонали <i>AC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Вписанные окружности треугольников <i>BCD</i> и <i>BAD</i> касаются диагонали <i>BD</i> в точках <i>Z</i> и <i>T</i>. Докажите, что если все точки <i>X, Y, Z, T</i> различны, то они являются вершинами прямоугольника.
Существует ли натуральное число, у которого нечётное количество чётных натуральных делителей и чётное количество нечётных?
Под одной из клеток доски 8×8 зарыт клад. Под каждой из остальных зарыта табличка, в которой указано, за какое наименьшее число шагов можно добраться из этой клетки до клада (одним шагом можно перейти из клетки в соседнюю по стороне клетку). Какое наименьшее число клеток надо перекопать, чтобы наверняка достать клад?
а) В футбольном турнире в один круг участвовало 75 команд. За победу в матче команда получала 3 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0 очков. Известно, что каждые две команды набрали различное количество очков. Найдите наименьшую возможную разность очков у команд, занявших первое и последнее места.б) Тот же вопрос для <i>n</i> команд.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Прямая <i>l</i> касается вписанной в него окружности. Обозначим через <i>l<sub>a</sub>, l<sub>b</sub>, l<sub>c</sub></i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику <i>ABC</i>.
В ряд лежит чётное число груш. Массы любых двух соседних груш отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши разложить по две в одинаковые пакеты и выложить пакеты в ряд так, чтобы массы любых двух соседних пакетов тоже отличались не более чем на 1 г.
В стране Далёкой провинция называется <i>крупной</i>, если в ней живёт более 7% жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся такие две провинции с меньшим населением , что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далёкой?
На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них – натуральная степень двойки.
Какое наибольшее число различных может быть среди чисел на доске?
Назовем приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами <i>сносным</i>, если его корни – целые числа, а коэффициенты не превосходят по модулю 2013. Вася сложил все сносные квадратные трёхчлены. Докажите, что у него получился трёхчлен, не имеющий действительных корней.
На катетах прямоугольного треугольника <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> вовне построили квадраты <i>ACKL</i> и <i>BCMN</i>; <i>CE</i> – высота треугольника. Докажите, что угол <i>LEM</i> прямой.