Олимпиадные задачи по математике для 8 класса - сложность 4-5 с решениями
По кругу стоят2009целых неотрицательных чисел, не превышающих 100. Разрешается прибавить по1к двум соседним числам, причем с любыми двумя соседними числами эту операцию можно проделать не более<i> k </i> раз. При каком наименьшем<i> k </i>все числа гарантированно можно сделать равными?
В треугольнике<i> ABC </i>угол<i> A </i>равен60<i><sup>o</sup> </i>. Пусть<i> BB<sub>1</sub> </i>и<i> CC<sub>1</sub> </i> — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой<i> B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> </i>, лежит на стороне<i> BC </i>.
Дан равнобедренный треугольник<i> ABC </i>(<i> AB=BC </i>). Выбрана точка<i> X </i>на стороне<i> AC </i>. Окружность проходит через точку<i> X </i>, касается стороны<i> AC </i>и пересекает описанную окружность треугольника<i> ABC </i>в таких точках<i> M </i>и<i> N </i>, что прямая<i> MN </i>делит отрезок<i> BX </i>пополам и пересекает стороны<i> AB </i>и<i> BC </i>в точках<i> P </i>и<i> Q </i>. Докажите, что описанная окружность треугольника<i> BPQ </i>проходит через центр описанной окружности треугольника<i> ABC </i>.
Через каждую вершину четырехугольника проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырехугольника на две равновеликие части. a) Докажите, что и четвертая прямая обладает тем же свойством. б) Какие значения могут принимать углы этого четырехугольника, если один из них равен72<i><sup>o</sup> </i>?
Стороны<i> BC </i>и<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках<i> A<sub>1</sub> </i>,<i> B<sub>1</sub> </i>. Пусть<i> A<sub>2</sub> </i>,<i> B<sub>2</sub> </i>— ортоцентры треугольников<i> CAA<sub>1</sub> </i>и<i> CBB<sub>1</sub> </i>. Докажите, что прямая<i> A<sub>2</sub>B<sub>2</sub> </i>перпендикулярна биссектрисе угла<i> C </i>.
Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырех арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег.
Начертите два четырехугольника с вершинами в узлах сетки, из которых можно сложить а) как треугольник, так и пятиугольник; б) и треугольник, и четырехугольник, и пятиугольник. Покажите, как это можно сделать.
В нашем распоряжении имеются 3<sup>2<i>k</i></sup>неотличимых по виду монет, одна из которых фальшивая– она весит чуть легче настоящей. Кроме того, у нас есть трое двухчашечных весов. Известно, что двое весов исправны, а одни– сломаны (показываемый ими исход взвешивания никак не связан с весом положенных на них монет, т.е. может быть как верным, так и искаженным в любую сторону, причем на разных взвешиваниях– искаженным по-разному). При этом неизвестно, какие именно весы исправны, а какие сломаны. Как определить фальшивую монету за 3<i>k + </i>1 взвешиваний?
На плоскости нарисовано несколько прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что каждые два прямоугольника можно пересечь вертикальной или горизонтальной прямой. Докажите, что можно провести одну горизонтальную и одну вертикальную прямую так, чтобы любой прямоугольник пересекался хотя бы с одной из этих двух прямых.
Последовательности(<i>a<sub>n</sub></i>)и(<i>b<sub>n</sub></i>)заданы условиями<i> a<sub>1</sub>=</i>1,<i> b<sub>1</sub>=</i>2,<i> a<sub>n+</sub></i>1<i>=<img src="/storage/problem-media/111872/problem_111872_img_2.gif"> </i>и<i> b<sub>n+</sub></i>1<i>=<img src="/storage/problem-media/111872/problem_111872_img_3.gif"> </i>. Докажите, что<i> a</i>2008<i><</i>5.
Дано конечное множество простых чисел <i>P</i>. Докажите, что найдётся такое натуральное число <i>x</i> , что оно представляется в виде <i>x = a<sup>p</sup> + b<sup>p</sup></i> (с натуральными <i>a, b</i>) при всех <i>p</i> ∈ <i>P </i> и не представляется в таком виде для любого простого <i>p</i> ∉ <i>P</i>.
Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.
В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?
Дан треугольник<i> ABC </i>и линейка, на которой отмечены два отрезка, равные<i> AC </i>и<i> BC </i>. Пользуясь только этой линейкой, найдите центр вписанной окружности треугольника, образованного средними линиями<i> ABC </i>.
На сторонах треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены правильные треугольники.
Докажите, что их центры образуют правильный треугольник, причём его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>.
Нарисуйте многоугольник и точку на его границе так, что любая прямая, проходящая через эту точку, делит площадь этого многоугольника пополам.
Каждая пара противоположных сторон данного выпуклого шестиугольника обладает следующим свойством: расстояние между серединами равно<i> <img src="/storage/problem-media/111041/problem_111041_img_2.gif">/</i>2умноженное на сумму их длин. Докажите, что все углы в шестиугольнике равны.
Дан треугольник<i> ABC </i>и точка<i> P </i>внутри него.<i> A' </i>,<i> B' </i>,<i> C' </i>– проекции<i> P </i>на прямые<i> BC </i>,<i> CA </i>,<i> AB </i>. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника<i> A'B'C' </i>, лежит внутри треугольника<i> ABC </i>.
Диагональ правильного 2006-угольника <i>P</i> называется <i>хорошей</i>, если её концы делят границу <i>P</i> на две части, каждая из которых содержит нечётное число сторон. Стороны <i>P</i> также называются хорошими. Пусть <i>P</i> разбивается на треугольники 2003 диагоналями, никакие две из которых не имеют общих точек внутри <i>P</i>. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет две хорошие стороны, может иметь такое разбиение?
Некоторые участники олимпиады дружат, и дружба взаимна. Назовём группу участников <i>кликой</i>, если все они дружат между собой. Их число называется <i>размером</i> клики. Известно, что максимальный размер клики чётен. Докажите, что участников можно рассадить по двум аудиториям так, что максимальные размеры клик в обеих аудиториях совпадают.
Какое минимальное количество клеток можно закрасить черным в белом квадрате 300×300, чтобы никакие три черные клетки не образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие нарушалось?
Докажите, что если натуральное число <i>N</i> представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, не делящихся на 3.
а) В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов. б) В 100 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 34 ящика, что в них окажется не менее трети всех яблок и не менее трети всех апельсинов.
Найдите все такие пары (<i>x, y</i>) натуральных чисел, что <i>x + y = a<sup>n</sup>, x</i>² + <i>y</i>² = <i>a<sup>m</sup></i> для некоторых натуральных <i>a, n, m</i>.
Мишень "бегущий кабан" находится в одном из<i> n </i>окошек, расположенных в ряд. Окошки закрыты занавесками так, что для стрелка мишень все время остается невидимой. Чтобы поразить мишень, достаточно выстрелить в окошко, в котором она в момент выстрела находится. Если мишень находится не в самом правом окошке, то сразу после выстрела она перемещается на одно окошко вправо; из самого правого окошка мишень никуда не перемещается. Какое наименьшее число выстрелов нужно сделать, чтобы наверняка поразить мишень?