Олимпиадные задачи по математике для 8 класса - сложность 1 с решениями
Делится ли число 21<sup>10</sup> – 1 на 2200?
Окружность проходит через вершины <i>В</i> и <i>D</i> параллелограмма <i>АВСD</i> и пересекает его стороны <i>АВ, ВС, СD</i> и <i>DA</i> в точках <i>M, N, P</i> и <i>K</i> соответственно. Докажите, что <i>MK || NP</i>.
Найдите все натуральные решения уравнения 2<i>n</i> – <sup>1</sup>/<sub><i>n</i><sup>5</sup></sub> = 3 – <sup>2</sup>/<sub><i>n</i></sub>.
Какое наименьшее значение может принимать периметр неравнобедренного треугольника с целыми длинами сторон?
Верно ли, что если <i>b > a + c</i> > 0, то квадратное уравнение <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 имеет два корня?
В шести корзинах лежат груши, сливы и яблоки. Число слив в каждой корзине равно числу яблок в остальных корзинах вместе взятых, а число яблок в каждой корзине равно числу груш в остальных корзинах вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>K</i> и <i>L</i> – на стороне <i>AB</i>, причём <i>AM</i> : <i>MN</i> : <i>NC</i> = 1 : 3 : 1 и <i><span lang="EN">AK = KL = LB</span></i>. Известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>KLNM</i>.
Точки <i>M</i> и <i>N</i> расположены на стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>, а точка <i>K</i> – на стороне <i>AC</i>, причём <i>BM</i> : <i>MN</i> : <i>NC</i> = 1 : 1 : 2 и <i>CK</i> : <i>AK</i> = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>AMNK</i>.
Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах.
Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна <i>a</i>.
В 10 одинаковых кувшинов было разлито молоко – не обязательно поровну, но каждый оказался заполнен не более чем на 10%. За одну операцию можно выбрать кувшин и отлить из него любую часть поровну в остальные кувшины. Докажите, что не более чем за 10 таких операций можно добиться, чтобы во всех кувшинах молока стало поровну.
Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились 1 белый, 3 серых и 5 чёрных квадратов, причём одноцветные квадраты были бы равны, а разноцветные квадраты – не равны?
Докажите, что выпуклый <i>n</i>-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол <sup>360°</sup>/<sub><i>n</i></sub> вокруг некоторой точки.
В вершинах шестиугольника <i>ABCDEF</i> (см. рис.) лежали 6 одинаковых на вид шариков: в <i>A</i> — массой 1 г, в <i>B</i> — 2 г, ..., в <i>F</i> — 6 г. Шутник поменял местами два шарика в противоположных вершинах. Имеются двухчашечные весы, позволяющие узнать, в какой из чаш масса шариков больше. Как за одно взвешивание определить, какие именно шарики переставлены?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116208/problem_116208_img_2.gif"></div>
Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Прямая, параллельная <i>AB</i>, пересекает биссектрисы углов <i>A</i> и <i>C</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно.
Докажите, что углы <i>ADP</i> и <i>ABQ</i> равны.
В шестиугольнике пять углов по 90°, а один угол — 270° (см. рисунок). C помощью линейки без делений разделите его на два равновеликих многоугольника.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116184/problem_116184_img_2.gif"></div>
Дана прямоугольная полоска размером 12×1. Oклейте этой полоской в два слоя куб с ребром 1 (полоску можно сгибать, но нельзя надрезать).
B равнобедренном треугольнике <i>ABС</i> на боковой стороне <i>BС</i> отмечена точка <i>M</i> так, что отрезок <i>MС</i> равен высоте треугольника, проведённой к этой стороне, а на боковой стороне <i>AB</i> отмечена точка <i>K</i> так, что угол <i>KMС</i> – прямой. Hайдите угол <i>ACK</i>.
Биссектриса угла <i>B</i> и биссектриса внешнего угла <i>D</i> прямоугольника <i>ABCD</i> пересекают сторону <i>AD</i> и прямую <i>AB</i> в точках <i>M</i> и <i>K</i> соответственно.
Докажите, что отрезок <i>MK</i> равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.
Дан квадрат <i>ABCD</i>. На стороне <i>AD</i> внутрь квадрата построен равносторонний треугольник <i>ADE</i>. Диагональ <i>AC</i> пересекает сторону <i>ED</i> этого треугольника в точке <i>F</i>. Докажите, что <i>CE = CF</i>.
Можно ли в клетки квадрата 10×10 поставить некоторое количество звёздочек так, чтобы в каждом квадрате 2×2 было ровно две звёздочки, а в каждом прямоугольнике 3×1 – ровно одна звёздочка? (В каждой клетке может стоять не более одной звёздочки.)
Из четырёх неравенств 2<i>x</i> > 70, <i>x</i> < 100, 4<i>x</i> > 25 и <i>x</i> > 5 два истинны и два ложны. Найдите значение <i>x</i>, если известно, что оно целое.
Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом.
В окружности провели диаметр <i>AB</i> и параллельную ему хорду <i>CD</i>, так, что расстояние между ними равно половине радиуса этой окружности (см. рис.). Найдите угол <i>CAB</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116143/problem_116143_img_2.gif"></div>
В стаде, состоящем из лошадей, двугорбых и одногорбых верблюдов, в общей сложности 200 горбов.
Сколько животных в стаде, если количество лошадей равно количеству двугорбых верблюдов? .
B правильном шестиугольнике <i>ABCDEF</i> на прямой <i>AF</i> взята точка <i>X</i> так, что ∠<i>XCD</i> = 45°. Hайдите угол <i>FXE</i>.