Олимпиадные задачи по математике для 7-11 класса - сложность 1 с решениями
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i> (<i>AB = AC</i>). На меньшей дуге <i>AB</i> описанной около него окружности взята точка <i>D</i>. На продолжении отрезка <i>AD</i> за точку <i>D</i> выбрана точка <i>E</i> так, что точки <i>A</i> и <i>E</i> лежат в одной полуплоскости относительно <i>BC</i>. Описанная окружность треугольника <i>BDE</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>F</i>. Докажите, что прямые <i>EF</i> и <i>BC</i> параллельны.
Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?
Известно, что <i>x, y</i> и <i>z</i> – целые числа и <i>xy + yz + zx</i> = 1. Докажите, что число (1 + <i>x</i>²)(1 + <i>y</i>²)(1 + <i>z</i>²) является квадратом натурального числа.
Найдите наименьшее натуральное значение <i>n</i>, при котором число <i>n</i>! делится на 990.
Для некоторых чисел <i>а, b, c</i> и <i>d</i>, отличных от нуля, выполняется равенство: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116531/problem_116531_img_2.gif"> . Найдите знак числа <i>ас</i>.
Можно ли начертить два треугольника так, чтобы образовался девятиугольник?
В треугольнике <i>АВС</i> проведена биссектриса <i>BD</i>. Докажите, что <i>АВ</i> > <i>AD</i>.
Решите уравнение: (<i>x</i> + 2010)(<i>x</i> + 2011)(<i>x</i> + 2012) = (<i>x</i> + 2011)(<i>x</i> + 2012)(<i>x</i> + 2013).
В пространстве заданы три луча: <i>DA</i>, <i>DB</i> и <i>DC</i>, имеющие общее начало <i>D</i>, причём ∠<i>ADB</i> = ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BDC</i> = 90°. Сфера пересекает луч <i>DA</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>2</sub>, луч <i>DB</i> – в точках <i>B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub>, луч <i>DC</i> – в точках <i>C</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>2</sub>. Найдите площадь треугольника <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</s...
Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.
На доске записали 20 первых чисел натурального ряда. Когда одно из чисел стёрли, то оказалось, что среди оставшихся чисел одно является средним арифметическим всех остальных. Найдите все числа, которые могли быть стёрты.
Про углы треугольника <i>ABC</i> известно, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116493/problem_116493_img_2.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116493/problem_116493_img_3.gif"> . Найдите величину угла <i>C</i>.
Для игры в "Морской бой" на поле 8×8 клеток расставили 12 "двухпалубных" кораблей. Обязательно ли останется место для "трёхпалубного" корабля? ("Двухпалубный" корабль – прямоугольник 1×2, а "трёхпалубный" – 1×3. Корабли могут соприкасаться, но накладываться друг на друга не должны.)
На рисунке изображен график приведённого квадратного трёхчлена (ось ординат стёрлась, расстояние между соседними отмеченными точками
равно 1). Чему равен дискриминант этого трёхчлена? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116482/problem_116482_img_2.gif"></div>
После возвращения цирка с гастролей, знакомые расспрашивали дрессировщика Казимира Алмазова о пассажирах его автофургона.
– Тигры были?
– Да, причём их было в семь раз больше, чем не тигров.
– А обезьяны?
– Да, их было в семь раз меньше, чем не обезьян.
– А львы были?
Ответьте за Казимира Алмазова.
На столе белой стороной кверху лежали 100 карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая чёрная. Костя перевернул 50 карточек, затем Таня перевернула 60 карточек, а после этого Оля – 70 карточек. В результате все 100 карточек оказались лежащими чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевернуто трижды?
Вычислите: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116475/problem_116475_img_2.gif">
Известно, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116457/problem_116457_img_2.gif"> . Найдите значение выражения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116457/problem_116457_img_3.gif">.
Какие значения может принимать выражение (<i>x – y</i>)(<i>y – z</i>)(<i>z – x</i>), если известно, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116451/problem_116451_img_2.gif"> ?
Делится ли число 21<sup>10</sup> – 1 на 2200?
Окружность проходит через вершины <i>В</i> и <i>D</i> параллелограмма <i>АВСD</i> и пересекает его стороны <i>АВ, ВС, СD</i> и <i>DA</i> в точках <i>M, N, P</i> и <i>K</i> соответственно. Докажите, что <i>MK || NP</i>.
Найдите все натуральные решения уравнения 2<i>n</i> – <sup>1</sup>/<sub><i>n</i><sup>5</sup></sub> = 3 – <sup>2</sup>/<sub><i>n</i></sub>.
Какое наименьшее значение может принимать периметр неравнобедренного треугольника с целыми длинами сторон?
Верно ли, что если <i>b > a + c</i> > 0, то квадратное уравнение <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 имеет два корня?