Олимпиадные задачи по математике для 7-10 класса - сложность 3 с решениями

Точку внутри треугольника назовём <i>хорошей</i>, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.

Пусть <i>AH</i> – высота остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>K</i> и <i>L</i> – проекции <i>H</i> на стороны <i>AB</i> и <i>AC</i>. Описанная окружность Ω треугольника <i>ABC</i> пересекает прямую <i>KL</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, а прямую <i>AH</i> – в точках <i>A</i> и <i>T</i>. Докажите, что точка <i>H</i> является центром вписанной окружности треугольника <i>PQT</i>.

В выпуклом пятиугольнике <i>P</i> провели все диагонали, в результате чего он оказался разбитым на десять треугольников и один пятиугольник <i>P'</i>. Из суммы площадей треугольников, прилегающих к сторонам <i>P</i>, вычли площадь <i>P'</i>; получилось число <i>N</i>. Совершив те же операции с пятиугольником <i>P'</i>, получили число <i>N'</i>. Докажите, что  <i>N > N'</i>.

При каких  <i>n</i> > 3  правильный <i>n</i>-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?

В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрису <i>CL</i>. В треугольники <i>CAL</i> и <i>CBL</i> вписали окружности, которые касаются прямой <i>AB</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Затем все, кроме точек <i>A, L, M</i> и <i>N</i>, стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.

Через вершины <i>A, B, C</i> треугольника <i>ABC</i> проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Точки <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂ симметричны точкам <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ относительно сторон <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AA</i>₂, <i>BB</i>₂,...

Квадрат разрезан на несколько (больше одного) выпуклых многоугольников с попарно различным числом сторон.

Докажите, что среди них есть треугольник.

Высоты <i>AA</i>₁, <i>CC</i>₁ остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Точка <i>Q</i> симметрична середине стороны <i>AC</i> относительно <i>AA</i>₁. Точка <i>P</i> – середина отрезка <i>A</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что  ∠<i>QPH</i> = 90°.

Окружность Ω описана около треугольника <i>ABC</i>. На продолжении стороны <i>AB</i> за точку <i>B</i> взяли такую точку <i>B</i>₁, что  <i>AB</i>₁ = <i>AC</i>.  Биссектриса угла <i>A</i> пересекает Ω вторично в точке <i>W</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>AWB</i>₁ лежит на Ω.

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором  ∠<i>B</i> = 120°.  На продолжениях сторон <i>AB</i> и <i>CB</i> за точку <i>B</i> взяли точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что лучи <i>AQ</i> и <i>CP</i> пересекаются под прямым углом. Докажите, что  ∠<i>PQB</i> = 2∠<i>PCQ</i>.

Квадратный лист бумаги согнули по прямой так, что одна из вершин квадрата оказалась на несмежной стороне. При этом образовалось три треугольника. В эти треугольники вписали окружности (см. рис.). Докажите, что радиус одной из этих окружностей равен сумме радиусов двух других. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116897/problem_116897_img_2.gif"></div>

В футбольном чемпионате участвуют 18 команд. На сегодняшний день проведено 8 туров (в каждом туре все команды разбиваются на пары и в каждой паре команды играют друг с другом, причём пары не повторяются). Верно ли, что найдутся три команды, которые не сыграли ни одного матча между собой?

В треугольнике <i>ABC</i>:  ∠<i>B</i> = 22,5°,  ∠<i>C</i> = 45°.  Докажите, что высота <i>АН</i>, медиана <i>BM</i> и биссектриса <i>CL</i> пересекаются в одной точке.

В кубе с ребром длины 1 провели два сечения в виде правильных шестиугольников. Найдите длину отрезка, по которому эти сечения пересекаются.

Даны  <i>n</i> + 1  попарно различных натуральных чисел, меньших 2<i>n</i>  (<i>n</i> > 1).

Докажите, что среди них найдутся три таких числа, что сумма двух из них равна третьему.

Дана равнобокая трапеция <i>ABCD</i>  (<i>AD || BC</i>).  На дуге <i>AD</i> (не содержащей точек <i>B</i> и <i>C</i>) описанной окружности этой трапеции произвольно выбрана точка <i>M</i>. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из вершин <i>A</i> и <i>D</i> на отрезки <i>BM</i> и <i>CM</i>, лежат на одной окружности.

а) Внутри сферы находится некоторая точка <i>A</i>. Через <i>A</i> провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках. Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр <i>A</i> не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из <i>A</i> в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.

Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны соответственно точки <i>C</i>₁ и <i>A</i>₁, отличные от вершин. Пусть <i>K</i> – середина <i>A</i>₁<i>C</i>₁, а <i>I</i> – центр окружности, вписанной в треугольник <i>ABC</i>. Оказалось, что четырёхугольник <i>A</i>₁<i>BC</i>₁<i>I</i> вписанный. Докажите, что угол <i>AKC</i> тупой.

Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 1001 орех по трём коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число <i>N</i> от 1 до 1001. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую четвёртую коробочку и предъявить Чичикову одну или несколько коробочек, где в сумме ровно <i>N</i> орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв?

Дана бесконечная последовательность чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ...  Известно, что для любого номера <i>k</i> можно указать такое натуральное число <i>t</i>, что

<i>a_k = a_k+t = a</i>_{<i>k</i>+2<i>t</i>} = ...  Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное <i>T</i>, что  <i>a_k = a_k+T</i>  при любом натуральном <i>k</i>?

Машина ездит по кольцевой трассе по часовой стрелке. В полдень в две разных точки трассы встали два наблюдателя. К какому-то моменту машина проехала возле каждого наблюдателя не менее 30 раз. Первый наблюдатель заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду быстрее, чем предыдущий. Второй заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду медленнее, чем предыдущий. Докажите, что прошло не менее полутора часов.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>I</i> – центр его вписанной окружности, и пусть <i>X, Y, Z</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>AIB, BIC</i> и <i>AIC</i> соответственно. Оказалось, что центр вписанной окружности треугольника <i>XYZ</i> совпадает с <i>I</i>. Обязательно ли тогда треугольник <i>ABC</i> равносторонний?

В некоторых клетках квадрата 11×11 стоят плюсы, причём всего плюсов чётное количество. В каждом квадратике 2×2 тоже чётное число плюсов.

Докажите, что чётно и число плюсов в 11 клетках главной диагонали квадрата.

Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 222 ореха по двум коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число <i>N</i> от 1 до 222. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую третью коробочку и предъявить Чичикову одну или две коробочки, где в сумме ровно <i>N</i> орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв.

Из 239 неотличимых на вид монет две – одинаковые фальшивые, а остальные – одинаковые настоящие, отличающиеся от фальшивых по весу. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь выяснить, какая монета тяжелее – фальшивая или настоящая? Сами фальшивые монеты находить не нужно.