Олимпиадные задачи по математике для 5-7 класса
Расставьте числа 1, 2, 3, ..., 9 в кружочках так, чтобы сумма чисел на каждой стороне треугольника равнялась 17. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116784/problem_116784_img_2.gif"></div>
Мальвина испекла 30 пирожков и угощает ими Пьеро, Буратино, Артемона и Арлекина. Через некоторое время оказалось, что Буратино и Пьеро съели столько же, сколько Артемон и Арлекин, а Пьеро и Артемон – в 6 раз больше, чем Буратино и Арлекин. Какое количество пирожков съел каждый, если Арлекин съел меньше всех остальных? (Все съедали пирожки целиком, и каждый съел хотя бы один пирожок.)
Двенадцать малышей вышли во двор играть в песочнице. Каждый, кто принёс ведёрко, принёс и совочек. Забыли дома ведёрко девять малышей, забыли дома совочек двое. На сколько меньше малышей, которые принесли ведёрко, чем тех, которые принесли совочек, но забыли ведёрко?
Длина крокодила от головы до хвоста в три раза меньше десяти кэн, а от хвоста до головы равна трем кэн и двум сяку. Известно, что одна сяку равна 30 см. Найдите длину крокодила в метрах. (<i>Кэн и сяку – японские единицы длины</i>.)
Квадратный лист размером 6×6 клеток сложили и вырезали из него часть так, как показано на рисунке. Затем этот лист развернули. Нарисуйте развёрнутый лист размером 6×6 клеток и покажите на рисунке сделанные вырезы.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116780/problem_116780_img_2.gif"></div>
В каком году установлен памятник Юрию Долгорукому, если в записи этого числа последняя цифра на единицу меньше предыдущей и при зачеркивании первой и последней цифры получается наибольшее двузначное число с суммой цифр 14?
Натуральные числа <i>а, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что <i>ab = cd</i>. Может ли число <i>a + b + c + d</i> оказаться простым?
На стороне <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечены точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что <i>BK = KL = LC</i>, а на стороне <i>АС</i> отмечена точка <i>М</i> так,
что <i>АМ</i> = ⅓ <i>AC</i>. Найдите сумму углов <i>AKM</i> и <i>ALM</i>.
Для чисел <i>а, b</i> и <i>с</i>, отличных от нуля, выполняется равенство: <i>a</i>²(<i>b + c – a</i>) = <i>b</i>²(<i>c + a – b</i>) = <i>c</i>²(<i>a + b – c</i>). Следует ли из этого, что <i>а = b = c</i>?
В коробке лежат 2011 белых и 2012 чёрных шаров. Наугад вытаскиваются два шара. Если они одного цвета, то их выкидывают и кладут в коробку чёрный шар. Если они разного цвета, то выкидывают чёрный, а белый кладут обратно. Процесс продолжается до тех пор, пока в коробке не останется один шар. Какого он цвета?
В прямоугольнике <i>АВСD</i> точка <i>Р</i> – середина стороны <i>АВ</i>, а точка <i>Q</i> – основание перпендикуляра, опушенного из вершины <i>С</i> на <i>PD</i>.
Докажите, что <i>BQ = BC</i>.
Петя ехал из Петрова в Николаево, а Коля – наоборот. Они встретились, когда Петя проехал 10 км и еще четверть оставшегося ему до Николаева пути, а Коля проехал 20 км и треть оставшегося ему до Петрова пути. Какое расстояние между Петрово и Николаево?
Является ли простым число 2011·2111 + 2500?
Разрежьте квадрат 4×4 по линиям сетки на 9 прямоугольников так, чтобы равные прямоугольники не соприкасались ни сторонами, ни вершинами.
На рисунке изображен график функции <i>у = kx + b</i> . Сравните |<i>k</i>| и |<i>b</i>|. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116734/problem_116734_img_2.gif"></div>
Шахматист сыграл в турнире 20 партий и набрал 12,5 очков. На сколько партий больше он выиграл, чем проиграл?
У двух равнобедренных треугольников равны основания и радиусы описанных окружностей. Обязательно ли эти треугольники равны?
Существуют ли два одночлена, произведение которых равно –12<i>а</i><sup>4</sup><i>b</i>², а сумма является одночленом с коэффициентом 1?
В клетках таблицы <i>m</i>×<i>n</i> расставлены числа. Оказалось, что в каждой клетке записано количество соседних с ней по стороне клеток, в которых стоит единица. При этом не все числа – нули. При каких числах <i>m</i> и <i>n</i>, больших 100, такое возможно?
Рациональные числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что все числа <i>x + y</i>² + <i>z</i>², <i>x</i>² + <i>y</i> + <i>z</i>² и <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i> целые. Докажите, что число 2<i>x</i> целое.
В параллелограмме <i>ABCD</i> опустили перпендикуляр <i>BH</i> на сторону <i>AD</i>. На отрезке <i>BH</i> отметили точку <i>M</i>, равноудалённую от точек <i>C</i> и <i>D</i>. Пусть точка <i>K</i> – середина стороны <i>AB</i>. Докажите, что угол <i>MKD</i> прямой.
На плоскости отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Саша разбивает точки на пары, после чего соединяет точки в каждой из пар отрезком. Всегда ли он может это сделать так, чтобы каждые два отрезка пересекались?
<img align="right" src="/storage/problem-media/116673/problem_116673_img_2.gif">Кузнечик умеет прыгать только ровно на 50 см. Он хочет обойти 8 точек, отмеченных на рисунке (сторона клетки равна 10 см). Какое наименьшее количество прыжков ему придётся сделать? (Разрешается посещать и другие точки плоскости, в том числе не узлы сетки. Начинать и заканчивать можно в любых точках.)
На доске написаны четыре трёхзначных числа, в сумме дающие 2012. Для записи их всех были использованы только две различные цифры.
Приведите пример таких чисел.
Клетки доски размером 5×5 раскрашены в шахматном порядке (угловые клетки – чёрные). По чёрным клеткам этой доски двигается фигура – мини-слон, оставляя след на каждой клетке, где он побывал, и больше в эту клетку не возвращаясь. Мини-слон может ходить либо в свободные от следов соседние (по диагонали) клетки, либо прыгать (также по диагонали) через одну клетку, в которой оставлен след, на свободную клетку за ней. Какое наибольшее количество клеток сможет посетить мини-слон?