Олимпиадные задачи по математике для 3-8 класса - сложность 5 с решениями
Белая фигура «жук» стоит в угловой клетке доски $1000\times n$, где $n$ — нечётное натуральное число, большее $2020$. В двух ближайших к ней углах доски стоят два чёрных шахматных слона. При каждом ходе жук или переходит на клетку, соседнюю по стороне, или ходит как шахматный конь. Жук хочет достичь противоположного угла доски, не проходя через клетки, занятые или атакованные слоном, и побывав на каждой из остальных клеток ровно по одному разу. Покажите, что количество путей, по которым может пройти жук, не зависит от $n$.
Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ обладает таким свойством: ни из каких трёх его сторон нельзя сложить треугольник. Докажите, что а) один из углов этого четырёхугольника не больше $60^\circ$; б) один из углов этого четырёхугольника не меньше $120^\circ$.
У Полины есть колода из 36 карт (4 масти по 9 карт в каждой). Она выбирает из неё половину карт, какие хочет, и отдает Василисе, а вторую половину оставляет себе. Далее каждым ходом игроки по очереди открывают по одной карте по своему выбору (соперник видит масть и достоинство открытой карты), начиная с Полины. Если в ответ на ход Полины Василиса смогла положить карту той же масти или того же достоинства, то Василиса зарабатывает одно очко. Какое наибольшее количество очков Василиса может гарантированно заработать?
Женя красила шарообразное яйцо последовательно в пяти красках, погружая его в стакан с очередной краской так, чтобы окрашивалась ровно половина площади поверхности яйца (полсферы). В результате яйцо окрасилось полностью. Докажите, что одна из красок была лишней, то есть если бы Женя не использовала эту краску, а в другие краски погружала бы яйцо так же, то оно всё равно окрасилось бы полностью.
В доме из $2^n$ комнат сделали евроремонт. При этом выключатели света оказались перепутанными, так что при включении выключателя в одной комнате загорается лампочка, вообще говоря, в какой-то другой комнате. Чтобы узнать, какой выключатель к какой комнате подсоединён, прораб посылает несколько людей в какие-то комнаты, чтобы те, одновременно включив там выключатели, вернулись и сообщили ему, горела лампочка в их комнате или нет. а) Докажите, что за $2n$ таких посылок прораб может установить соответствие между выключателями и комнатами. б) А может ли он обойтись $2n-1$ такими посылками?
Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять из одной кучки от 1 до 5 камней. Определите выигрышную стратегию в этой игре, если тот, кто взял последний камень а) выигрывает; б) проыигрывает.
Даны прямая <i>l</i>, окружность и точка <i>M</i>, лежащая на окружности и не лежащая на прямой <i>l</i>. Пусть<i>P</i><sub>M</sub> — проектирование прямой<i>l</i>на данную окружность из точки<i>M</i>(точка <i>X</i>прямой отображается в отличную от <i>M</i>точку пересечения прямой<i>XM</i>с окружностью),<i>R</i> — движение плоскости, сохраняющее данную окружность (т. е. поворот плоскости вокруг центра окружности или симметрия относительно диаметра). Докажите, что композиция<i>P</i><sub>M</sub><sup>-1</sup><tt>o</tt><i>R</i><tt>o</tt><i>P</i><sub>M</sub>является прое...
Даны прямая <i>l</i>, окружность и точки <i>M</i>,<i>N</i>, лежащие на окружности и не лежащие на прямой <i>l</i>. Рассмотрим отображение <i>P</i>прямой <i>l</i>на себя, являющееся композицией проектирования прямой <i>l</i>на данную окружность из точки <i>M</i>и проектирования окружности на прямую <i>l</i>из точки <i>N</i>. (Если точка <i>X</i>лежит на прямой <i>l</i>, то<i>P</i>(<i>X</i>) есть пересечение прямой<i>NY</i>с прямой <i>l</i>, где <i>Y</i> — отличная от <i>M</i>точка пересечения прямой<i>MX</i>с данной окружностью.) Докажите, что преобразование <i>...
Пусть<i>L</i>— взаимно однозначное отображение плоскости в себя, переводящее любую окружность в некоторую окружность. Докажите, что<i>L</i> — аффинное преобразование.
Пусть<i>L</i>— взаимно однозначное отображение плоскости в себя. Предположим, что оно обладает следующим свойством: если три точки лежат на одной прямой, то их образы тоже лежат на одной прямой. Докажите, что тогда<i>L</i> — аффинное преобразование.
На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Докажите, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.
На плоскости даны три вектора<b>a</b>,<b>b</b>,<b>c</b>, причем$\alpha$<b>a</b>+$\beta$<b>b</b>+$\gamma$<b>c</b>= 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами |$\alpha$|, |$\beta$|, |$\gamma$| можно составить треугольник.
Докажите, что любой выпуклый шестиугольник<i>ABCDEF</i>, в котором каждая сторона параллельна противоположной стороне, аффинным преобразованием можно перевести в шестиугольник с равными диагоналями<i>AD</i>,<i>BE</i>и<i>CF</i>.
Докажите, что любой выпуклый четырехугольник, кроме трапеции, аффинным преобразованием можно перевести в четырехугольник, у которого противоположные углы прямые.
Докажите, что если <i>M'</i>и <i>N'</i> — образы многоугольников <i>M</i>и <i>N</i>при аффинном преобразовании, то отношение площадей <i>M</i>и <i>N</i>равно отношению площадей <i>M'</i>и <i>N'</i>.
Докажите, что если аффинное преобразование переводит некоторую окружность в себя, то оно является либо поворотом, либо симметрией.
Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции растяжения (сжатия) и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.
На плоскости дан многоугольник<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>и точка<i>O</i>внутри его. Докажите, что равенства<div align="CENTER"><table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER">$\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$$\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$,</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> </td></tr> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER"> 1$\displaystyle \overrightarrow{OA...
Докажите, что для любого натурального <i>N</i>существует <i>N</i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и все попарные расстояния между которыми являются целыми числами.
Докажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов.
Имеется неограниченное количество плиток в форме многоугольника<i>M</i>. Будем говорить, что из этих плиток можно сложить паркет, если ими можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса так, чтобы не было ни просветов, ни перекрытий. а) Докажите, что если<i>M</i> — выпуклый<i>n</i>-угольник, где<i>n</i>$\ge$7, то паркет сложить нельзя. б) Приведите пример такого выпуклого пятиугольника с попарно непараллельными сторонами, что паркет сложить можно.
а) Можно ли квадрат6×6 замостить костями домино1×2 так, чтобы не было к швак, т. е. прямой, не разрезающей костей? б) Докажите, что любой прямоугольник<i>m</i>×<i>n</i>, где<i>m</i>и<i>n</i>больше 6 и<i>mn</i>четно, можно замостить костями домино так, чтобы не было к швак. в) Докажите, что прямоугольник6×8 можно замостить костями домино так, чтобы не было к швак.
На круглом столе радиуса<i>R</i>расположено без наложений<i>n</i>круглых монет радиуса<i>r</i>, причем больше нельзя положить ни одной монеты. Докажите, что<i>R</i>/<i>r</i>$\le$2$\sqrt{n}$+ 1.
Докажите, что любые<i>n</i>точек на плоскости всегда можно накрыть несколькими непересекающимися кругами так, что сумма их диаметров меньше<i>n</i>и расстояние между любыми двумя из них больше 1.
а) Квадрат со стороной 1 покрыт несколькими меньшими квадратами со сторонами, параллельными его сторонам. Докажите, что среди них можно выбрать непересекающиеся квадраты, сумма площадей которых не меньше 1/9. б) Площадь объединения нескольких кругов равна 1. Докажите, что из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов с общей площадью не менее 1/9.