Задача № 1672439 класс10 класс11 класс3 / 5
Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность Ω. Пусть H и M – точка пересечения высот и середина стороны BC соответственно. Прямая HM пересекает окружность ω, описанную около треугольника BHC, в точке N=H. На дуге BC окружности ω, не содержащей точку H, нашлась точка P такая, что ∠HMP=90∘. Отрезок PM пересекает Ω в точке Q. Точки B′ и C′ симметричны точке A относительно точек B и C соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников AB′C′ и PQN касаются.
Задача № 1672158 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5
Высоты BE и CF остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Перпендикуляр из H к прямой EF пересекает прямую ℓ, проходящую через точку A и параллельную BC, в точке P. Биссектрисы углов, образованных прямыми ℓ и HP, пересекают прямую BC в точках S и T. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и PST касаются.