Задача № 167436
Дано натуральное число . Можно ли представить многочлен в виде суммы двух кубов многочленов с действительными коэффициентами?
Бутырин Б. — олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 167344
В треугольнике точки , – середины сторон , соответственно; серединный перпендикуляр к биссектрисе пересекает биссектрисы углов и в точках , соответственно. Докажите, что прямые и пересекаются на касательной к описанной окружности треугольника в точке .
Задача № 167310
Петя и Вася играют на отрезке , в котором отмечены точки и . Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый ход игрок отмечает ранее не отмеченную точку отрезка. Если после хода очередного игрока нашлись три последовательных отрезка между соседними отмеченными точками, из которых можно сложить треугольник, то сделавший такой ход игрок объявляется победителем, и игра заканчивается. Получится ли у Пети гарантированно победить?
Задача № 167200
Назовём тройку чиселтриплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Дана бесконечная последовательность , состоящая из натуральных чисел. Известно, что и при число — минимальное натуральное число такое, что среди чисел нет трёх, образующих триплет. Докажите, что для любого .
Задача № 167188
Назовём тройку чиселтриплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность строится следующим образом: , и при число — такое минимальное натуральное число, большее , что среди чисел , , ..., нет трёх, образующих триплет. Докажите, что .