Автор Бутырин Б. — каталог олимпиадных задач по математике, сложность 3-4

4 задачи

Задача № 1674368 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5

Задача № 167436

Дано натуральное число $n$ . Можно ли представить многочлен $x(x-1)\dots(x-n)$ в виде суммы двух кубов многочленов с действительными коэффициентами?

Бутырин Б.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1673448 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5

В треугольнике $ABC$ точки $M$ , $N$ – середины сторон $AB$ , $AC$ соответственно; серединный перпендикуляр к биссектрисе $AL$ пересекает биссектрисы углов $B$ и $C$ в точках $P$ , $Q$ соответственно. Докажите, что прямые $PM$ и $QN$ пересекаются на касательной к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$ .

Бутырин Б.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 16720010 класс11 класс4 / 5

Задача № 167200

Назовём тройку чиселтриплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Дана бесконечная последовательность $(a_n)$ , состоящая из натуральных чисел. Известно, что $a_1=a_2=1$ и при $n > 2$ число $a_n$ — минимальное натуральное число такое, что среди чисел $a_1,a_2,\ldots,a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_n\leqslant \frac{n^2+7}{8}$ для любого $n$ .

Бутырин Б.

Problems.ruОткрыть задачу →

Задача № 1671888 класс9 класс10 класс4 / 5

Задача № 167188

Назовём тройку чиселтриплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность $(a_n)$ строится следующим образом: $a_0 = 0$ , $a_1 = 1$ и при $n > 1$ число $a_n$ — такое минимальное натуральное число, большее $a_{n-1}$ , что среди чисел $a_0$ , $a_1$ , ..., $a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_{2023} \leqslant 100\,000$ .

Бутырин Б.

Problems.ruОткрыть задачу →

Бутырин Б. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3-4 с решениями

Каталог

Фильтры задач

Задача № 167436

Задача № 167344

Задача № 167200

Задача № 167188