Задача № 167095
Треугольник вписан в окружность с центром . Окружность касается сторон , и касается дуги описанной окружности в точке . Пусть – центр вписанной окружности треугольника . Докажите, что прямая содержит симедиану треугольника .
Фадин М. — олимпиадные задачи по математике для 3-10 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 166223
Даны прямоугольный треугольник ABC и две взаимно перпендикулярные прямые x и y, проходящие через вершину прямого угла A. Для точки X, движущейся по прямой x, определим yb как образ прямой y при симметрии относительно XB, а yc – как образ прямой y при симметрии относительно XC. Пусть yb и yс пересекаются в точке Y. Найдите геометрическое место точек Y (для несовпадающих yb и yс).
Задача № 166168
Изначально на доске написано натуральное число N. В любой момент Миша может выбрать число a > 1 на доске, стереть его и дописать все натуральные делители a, кроме него самого (на доске могут появляться одинаковые числа). Через некоторое время оказалось, что на доске написано N² чисел. При каких N это могло случиться?