Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Перпендикуляр, опущенный из точки A на сторону CD, проходит через середину диагонали BD, а перпендикуляр, опущенный из точки D на сторону AB, проходит через середину диагонали AC. Докажите, что трапеция равнобокая.
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Пусть ω – его описанная окружность, точка M – середина стороны BC, P – вторая точка пересечения описанной окружности треугольника AB1C1 и ω, T – точка пересечения касательных к ω, проведённых в точках B и C, S – точка пересечения AT и ω. Докажите, что P, A1, S и середина отрезка MT лежат на одной прямой.
BB1 и CC1 – высоты треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника AB1C1 в точках B1 и C1 пересекают прямые AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AMN и AB1C1 лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.