Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Высоты , , остроугольного треугольника пересекаются в точке . Биссектриса угла пересекает отрезок в точке , биссектриса угла пересекает отрезок в точке . Обозначим величину угла через . Аналогично определим и . Найдите значение суммы .
На описанной окружности треугольника отметили середины дуг и – точки и соответственно, и середины дуг и – точки и соответственно. Окружность касается стороны в точке и продолжений сторон и . Окружность касается стороны в точке и продолжений сторон и . Оказалось, что лежит на отрезке . Докажите, что лежит на отрезке .
Действительные числа , , , таковы, что Докажите, что произведение каких-то двух чисел из , , , равно произведению двух других.
Про четыре целых числа известно, что Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на один.
Точка – середина стороны треугольника . Окружность проходит через точку , касается прямой в точке и пересекает сторону в точке , а сторону – в точке . Пусть и – середины отрезков и соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника , касается .
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Перпендикуляр, опущенный из точки A на сторону CD, проходит через середину диагонали BD, а перпендикуляр, опущенный из точки D на сторону AB, проходит через середину диагонали AC. Докажите, что трапеция равнобокая.
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами. На стороне AD выбирается произвольная точка P, отличная от A и D. Описанные окружности треугольников ABP и CDP вторично пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки P.
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Пусть ω – его описанная окружность, точка M – середина стороны BC, P – вторая точка пересечения описанной окружности треугольника AB1C1 и ω, T – точка пересечения касательных к ω, проведённых в точках B и C, S – точка пересечения AT и ω. Докажите, что P, A1, S и середина отрезка MT лежат на одной прямой.
BB1 и CC1 – высоты треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника AB1C1 в точках B1 и C1 пересекают прямые AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AMN и AB1C1 лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.