Дидин М. — олимпиадные задачи по математике - сложность 1-3 с решениями
Город имеет вид квадрата $n\times n$, разбитого на кварталы 1×1. Улицы идут с севера на юг и с запада на восток. Человек каждый день утром идёт из юго-западного угла в северо-восточный, двигаясь только на север или восток, а вечером возвращается обратно, двигаясь только на юг или запад. Каждое утро он выбирает свой путь так, чтобы суммарная длина знакомых участков пути (тех, которые он уже проходил в том или ином направлении) была минимальна, и каждый вечер тоже. Докажите, что за $n$ дней он пройдёт все улицы целиком.
Дан вписанный четырёхугольник <i>АВСD</i>. Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Пусть <i>К</i> и <i>N</i> – середины диагоналей.
Докажите, что сумма углов <i>PKQ</i> и <i>PNQ</i> равна 180°.
В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC </i>проведены медиана <i>AM</i> и высота <i>AH</i>. На прямых <i>AB</i> и <i>AC</i> отмечены точки <i>Q</i> и <i>P</i> соответственно так, что <i>QM</i> ⊥ <i>AC</i> и <i>PM</i> ⊥ <i>AB</i>. Описанная окружность треугольника <i>PMQ</i> пересекает прямую <i>BC</i> вторично в точке <i>X</i>. Докажите, что <i>BH = CX</i>.