Задача № 166683
В угол с вершиной вписана окружность . Рассматриваются окружности, проходящие через , касающиеся внешним образом и пересекающие стороны угла в точках и . Докажите, что периметры всех треугольников равны.
Креков Д. — олимпиадные задачи по математике для 2-9 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 165652
Дан остроугольный треугольник ABC. Пусть A' – точка, симметричная A относительно BC, OA – центр окружности, проходящей через A и середины отрезков A'B и A'C. Точки OB и OC определяются аналогично. Найдите отношение радиусов описанных окружностей треугольников ABC и OAOBOC.
Задача № 165374
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC высоты AA' и BB' пересекаются в точке H, а медианы треугольника AHB пересекаются в точке M. Прямая CM делит отрезок A'B' пополам. Найдите угол C.
Задача № 165197
По целому числу a построим последовательность a1 = a, a2 = 1 + a1, a3 = 1 + a1a2, a4 = 1 + a1a2a3, ... (каждое следующее число на 1 превосходит произведение всех предыдущих). Докажите, что разности ее соседних членов an+1 – an – квадраты целых чисел.
Задача № 165189
Будем называть натуральное число почти квадратом, если это либо точный квадрат, либо точный квадрат, умноженный на простое число. Могут ли 8 почти квадратов идти подряд?