Задача № 1674749 класс10 класс11 класс3 / 5
На микросхеме 2025 различных элементов, некоторые пары из которых соединены проводами. Жора хочет раскидать элементы по n платам так, чтобы никакие два элемента одной платы не были соединены проводами. Жора посчитал, что если плат будет всего две, то у него будет 2 способа, а если плат 2025 – то 2025 ⋅ 20242024 способов. Сколько проводов на микросхеме? Все элементы и все платы разные, какие-то из плат могут не содержать элементов. Способы считаются разными, если хотя бы один элемент в способах находится на разных платах.
Задача № 16676710 класс11 класс3 / 5
В игре Тантрикс-солитер возможны фишки 14 типов: Каждую из них можно поворачивать, но нельзя переворачивать: именно поэтому первые 2 фишки разные – их нельзя получить друг из друга поворотом. Их разрешается прикладывать друг к другу так, чтобы линии одного цвета были продолжениями друг друга. У Саши было по одной фишке каждого типа, и он мог выложить их так, чтобы все синие линии образовывали «петлю», и при этом чтобы в картинке не было «дырок»: Саша потерял фишку . Докажите, что теперь он не сможет выложить оставшиеся 13 фишек так, чтобы в картинке не было «дырок», а все синие линии образовыв...
Задача № 1653678 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5
На сторонах AB, AC треугольника ABC взяли такие точки C1, B1 соответственно, что BB1 ⊥ CC1. Точка X внутри треугольника такова, что ∠XBC = ∠B1BA, ∠XCB = ∠C1CA. Докажите, что ∠B1XC1 = 90° – ∠A.
Задача № 1652459 класс10 класс11 класс4 / 5
Обозначим через S(k) сумму цифр натурального числа k. Натуральное число a назовём n-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел a0, a1, ..., an, что an = a и ai+1 = ai – S(ai) при всех i = 0, 1, ..., n – 1. Верно ли, что для любого натурального n существует натуральное число, являющееся n-хорошим, но не являющееся (n+1)-хорошим?
Задача № 1651989 класс10 класс3 / 5
В турнире по футболу участвует 2n команд (n > 1). В каждом туре команды разбиваются на n пар и команды в каждой паре играют между собой. Так провели 2n – 1 тур, по окончании которых каждая команда сыграла с каждой ровно один раз. За победу давалось 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0 очков. Оказалось, что для каждой команды отношение набранных ею очков к количеству сыгранных ею игр после последнего тура не изменилось. Докажите, что все команды сыграли вничью все партии.
Задача № 1650998 класс9 класс3 / 5
Какое наибольшее количество белых и чёрных пешек можно расставить на клетчатой доске 9×9 (пешку, независимо от её цвета, можно ставить на любую клетку доски) так, чтобы никакая из них не била никакую другую (в том числе и своего цвета)? Белая пешка бьёт две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с бóльшим номером, а чёрная – две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с меньшим номером (см. рисунок).