Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
К Ивану на день рождения пришли 2 гостей. У Ивана есть чёрных и белых цилиндров. Он хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или несколько) так, чтобы в каждом хороводе было хотя бы два человека и люди в цилиндрах одного цвета не стояли в хороводе рядом. Докажите, что Иван может устроить бал ровно различными способами. (Цилиндры одного цвета неразличимы; все гости различимы.)
К Ивану на день рождения пришли гостей. У Ивана есть цилиндров с написанными сверху буквами А, Б и В, по штук каждого типа. Иван хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или больше) так, чтобы длина каждого хоровода делилась на , а при взгляде на любой хоровод сверху читалось бы по часовой стрелке АБВАБВ...АБВ. Докажите, что Иван может устроить бал ровно различными способами. (Цилиндры с одинаковыми буквами неразличимы; все гости различны.)
Петя подсчитал количество всех возможных m-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только четыре буквы T, O, W и N, причём в каждом слове букв T и O поровну. Вася подсчитал количество всех возможных 2m-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только две буквы T и O, и в каждом слове этих букв поровну. У кого слов получилось больше? (Слово – это любая последовательность букв.)