Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
В прямоугольном треугольнике – центр вписанной окружности, – середина гипотенузы . Касательная к описанной окружности треугольника в точке пересекает прямую, проходящую через и параллельную , в точке . Точка – ортоцентр треугольника . Докажите, что точка пересечения прямых и лежит на вписанной окружности треугольника .
Окружность , вписанная в треугольник , касается сторон , и в точках , и соответственно. Перпендикуляр из на пересекает прямую в точке , а перпендикуляр из на пересекает в точке . Отрезок пересекает во второй раз в точке . Докажите, что описанная окружность треугольника касается .
Окружность проходит через вершину параллелограмма и касается лучей , . Окружность касается лучей , и касается внешним образом в точке . Докажите, что лежит на диагонали .