Задача № 167357
В пирамиде все углы при вершине прямые. Точки , , на ребрах , , соответственно таковы, что треугольники и подобны. Верно ли, что плоскости и параллельны?
Tran Q.H. — олимпиадные задачи по математике - сложность 1-3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 167126
Даны два одинаково ориентированных квадрата и . Серединные перпендикуляры к отрезкам , , , пересекают серединные перпендикуляры к отрезкам , , , в точках , , , соответственно. Докажите, что .
Задача № 166955
Точка лежит внутри выпуклого четырехугольника . Общие внутренние касательные к вписанным окружностям треугольников и пересекаются в точке , а общие внутренние касательные к вписанным окружностям треугольников и – в точке . Докажите, что , , лежат на одной прямой.
Задача № 166943
В треугольник вписана окружность с центром , касающаяся сторон , в точках , соответственно. Точки , на прямой таковы, что и . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что прямая делит пополам отрезок .
Задача № 166940
Дан квадрат с центром . Из точки , лежащей на меньшей дуге описанной около квадрата окружности, проведены касательные к его вписанной окружности, пересекающие сторону в точках и . Прямые и пересекают отрезки и соответственно в точках и . Докажите, что медиана треугольника из вершины перпендикулярна отрезку и равна его половине.
Задача № 166305
Вокруг квадрата ABCD описана окружность. Точка P лежит на дуге CD этой окружности, не содержащей других вершин квадрата. Прямые PA, PB пересекают диагонали BD, AC соответственно в точках K, L. Точки M, N – проекции K, L соответственно на CD, а Q – точка пересечения прямых KN и ML. Докажите, что прямая PQ делит отрезок AB пополам.
Задача № 164913
Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C1. Точки A1, B1 определены аналогично. Докажите, что а) прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке; б) треугольники ABC и A1B1C1 подобны.
Задача № 164803
Пусть M – середина хорды AB окружности с центром O. Точка K симметрична M относительно O, P – произвольная точка окружности. Перпендикуляр к AB в точке A и перпендикуляр к PK в точке P пересекаются в точке Q. Точка H – проекция P на AB. Докажите, что прямая QB делит отрезок PH пополам.