Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Требуется сделать набор гирек, каждая из которых весит целое число граммов, с помощью которых можно взвесить любой целый вес от 1 до 55 граммов включительно даже в том случае, если некоторые гирьки потеряны (гирьки кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес – на другую). Рассмотрите два варианта задачи: а) необходимо подобрать 10 гирек, из которых может быть потеряна любая одна; б) необходимо подобрать 12 гирек, из которых могут быть потеряны любые две.
Многочлен P(x) удовлетворяет условиям: P(0) = 1, (P(x))² = 1 + x + x100Q(x), где Q(x) – некий многочлен. Докажите, что коэффициент при x99 в многочлене (P(x) + 1)100 равен нулю.
На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника P и Q. Для каждой стороны многоугольника P многоугольник Q можно зажать между двумя прямыми, параллельными этой стороне. Обозначим через h расстояние между этими прямыми, а через l – длину стороны и вычислим произведение lh. Просуммировав такие произведения по всем сторонам P, получим некоторую величину (P, Q). Докажите, что (P, Q) = (Q, P).