Задача № 164664
Многочлен P(x) удовлетворяет условиям: P(0) = 1, (P(x))² = 1 + x + x100Q(x), где Q(x) – некий многочлен. Докажите, что коэффициент при x99 в многочлене (P(x) + 1)100 равен нулю.
Звонкин Д. — олимпиадные задачи по математике для 11 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 164592
На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника P и Q. Для каждой стороны многоугольника P многоугольник Q можно зажать между двумя прямыми, параллельными этой стороне. Обозначим через h расстояние между этими прямыми, а через l – длину стороны и вычислим произведение lh. Просуммировав такие произведения по всем сторонам P, получим некоторую величину (P, Q). Докажите, что (P, Q) = (Q, P).